In the modern financial market, financial options are important tools for hedging and investment, and pricing of various options depends on sophisticated quantitative analysis. This paper researches about exotic options, especially barrier options. A barrier option is a path dependent option which is activated or becomes worthless on whether the underlying asset price touches or crosses a barrier or barriers before expiration.
Based on probabilitic approach, main purpose of this paper is pricing and analysis various barrier options. First we derive probabilities of multiple crossings of curved barriers for Brownian motion with drift, by repeatedly applying the Girsanov theorem and the reflection principle. Using probabilities of multiple crossings, the price of a standard double barrier option is presented as an infinite sum and it is shown that the convergence speed of infinite series is very rapid. Although the pricing formula of standard double barrier option is same with previous results, the method used to derive the formula is
different with [36] and [45]. Moreover our method gives an intuitive interpretation for each term in the infinite series. A window double barrier option is a double barrier option whose monitoring period starts after contract initiation and terminates before the contract expiry. [24] found the valuation formula of the window double barrier option whose barriers are constants. We extend constant barrier assumption to curved barriers and derive the pricing formula of generalized window double barrier option.
Although usual papers, including our previous results, assume that the underlying asset is continuously monitored, traded barrier options are monitored only on pre-specified dates, i.e. only a finite number of times. Since it is practically impossible to check the possible but unobservable crossings of the asset price between two successive monitoring times, computation of the price of discrete monitored barrier options is difficult. The difference between real market price for daily monitored barrier option and theoretical value obtained under continuous monitored assumption were considerable. [8] presented a
pricing method for single constant barrier options with discrete time monitoring, and based on their technique we present a new pricing method for double curved barrier option with discrete time monitoring. Numerical simulations are presented to demonstrate the practical applicability of our method.
Finally, this paper focuses on chained option. Chained option, named by [33], is a double barrier option which is activated or extinguished depending on whether underlying asset price crosses two barriers in pre-specified order. We derive closed form formulas for prices of 16 types of chained options and identities among chained options. Based on our analytic formulas, Greeks are computed directly. At the last, the continuity correction for pricing discrete monitored chained option is presented, and numerical simulations are produced to demonstrate usefulness.
현대 금융 시장에서 옵션은 헤지와 투자를 위해 중요한 도구가 되었으며, 다양한 옵션의 가격을 계산하기 위해선 정량적인 분석이 필요하다. 이 논문은 이색 옵션, 특히 배리어 옵션에 대해 연구하였다. 배리어 옵션은 만기 이전에 기초 자산의 가격이 배리어를 교차하면 가치가 생기거나 없어지는 경로에 의존하는 옵션이다.
확률적인 접근 방식에 기반하여, 이 논문의 주 목적은 다양한 배리어 옵션의 가격을 계산하고 분석하는 것이다. 첫째로, 우리는 기르사노프 정리와 반사 원칙을 반복적으로 사용하여 추세를 가지는 브라운 운동의 곡선 배리어를 다중교차 할 확률을 계산하였다. 다중교차 확률을 사용하여 이중 배리어 옵션의 가격을 무한급수 형태로 제시하였으며, 이 급수의 수렴 속도는 매우 빠른 것을 보였다. 비록 제시한 이중 배리어 옵션의 가격 공식이 기존에 다른 연구자들에 의해 주어진 것이라 하더라도, 우리가 사용한 방법은 [36]과 [45]에서 사용한 방법과 다르다. 더구나 우리의 방법은 무한급수의 각 항에 대한 직관적인 해석을 준다. 창문 이중 배리어 옵션은 관측 시간이 옵션의 시작 이후에 시작하여 만기 이전에 끝이 나는 옵션이다. [24]에서 상수 배리어를 가정한 창문 이중 옵션의 가격을 계산하는 공식이 제시되었다. 우리는 상수 배리어 가정을 곡선 배리어 가정으로 확장하였고, 일반화된 창문 이중 배리어 옵션의 가격 계산 공식을 유도하였다.
우리의 앞의 논문을 포함하여 기존의 논문들은 일반적으로 기초 자산을 연속적으로 관측한다고 가정하지만 실제로 거래되는 옵션은 미리 정해진 유한한 횟수의 시각들에서만 기초 자산의 가격을 관측하다. 실제로 우리가 관측한 두 관측 시점 사이에서 기초 자산이 배리어를 건들었더라고 우리는 그 현상을 관측할 수 없고, 이산적으로 관측하는 배리어 옵션의 가격을 직접 계산하는 것은 매우 어렵다. 실재 시장에서 거래되는 매일 관측하는 배리어 옵션의 가격과 연속 관측을 가정하는 이론적인 배리어 옵션의 가격의 차이는 무시할 수 없을 정도이다. [8]은 하나의 상수 배리어를 가지는 옵션의 가격을 근사하는 방법을 제시하였으며, 우리는 이 기법을 사용하여 이산적인 관측시간과 곡선 배리어를 갖는 이중 배리어 옵션의 가격을 근사하는 새로운 방법을 제시하였다. 수치적인 결과들이 우리의 방법의 실질 응용 가능성을 뒷받침한다.
마지막으로 이 논문은 체인드 옵션을 연구하였다. [33]에 의해서 주어진 체인드 옵션은 미리 정해진 순서대로 두개의 배리어를 교차해야만 활성화 되거나 가치가 없어지는 이중 배리어 옵션이다. 우리는 총 16종류의 체인드 옵션의 가격을 계산하는 공식을 제시하였으며 체인드 옵션의 가격들 사이에서 성립하는 항등식을 유도하였다. 또한 우리의 가격 계산 공식에 기반하여 그릭스를 직접 계산하였다. 이산적인 관측 시간을 가지는 체인드 옵션의 가격을 근사하는 방법도 제시되었으며 수치 시물레이션을 통해 근사의 유용성을 증명하였다.
