We discuss some conjectures for rank functions of differential posets, and show that these conjectures hold for the Young`s lattice and its Cartesian products.
Miller and Stanley conjectured that any differential poset has the nondecreasing property of 1st difference and the nonnegative property of $t$-th difference. Moreover, the inequality ${p_{n + 1}} \le r{p_n} + {p_{n - 1}}$ is the other conjecture raised by Stanley, where $p_n$ is the number of elements in an $r$-differential poset of rank $n$.
In this thesis, we show that this inequality establishs for the Young`s lattice and its Cartesian products by constructing injections.
Differential Poset의 순위함수에 대하여 Stanley와 Miller의 몇 가지 추측들을 소개하고, 이들이 Young의 격자와 그 곱에서는 성립함을 보였다.
위 논문에서는 먼저 Young의 격자에 대하여 그 순위함수의 1차 차분이 단조증가함을 보였다. 또한 Young의 격자에 대하여 순위함수의 t차 차분의 항이 충분히 클 때, 그 값은 어느 순간 0보다 크거나 같음을 보였다. 마지막으로, Fibonacci 수열에서 파생된 부등식 ${p_{n + 1}} \le r{p_n} + {p_{n - 1}}$이 Young의 격자와 그 곱에서 성립함을 두 가지 방식으로 증명하였다. 특히 위 부등식이 성립함을 증명하기 위해 좌변과 우변의 상한과 하한을 각각 구하는 고전적인 방법 외에, 좌변과 우변의 값을 각각 원소의 개수로 가지는 두 집합 사이의 단사함수를 구현하였다.
