A map $f : X \rightarrow Y$ between $\M$-polyhedral complexes which sends the interior of each $n$-cell of $X$ to the interior of each $n$-cell of $Y$ is called a combinatorial map.
Especially, a combinatorial map between cube complexes is called a cubical map. In this article, I introduce Theorem 4.2 and Theorem 4.3 and their proofs. Theorem 4.2 tells us that a combinatorial map is locally an isometric embedding if and only if the induced link map is a $\pi$-distance preserving map. Theorem 4.3 tells us that if codomain is locally CAT(0), a cubical map is locally an isometric embedding if and only if the induced link map is injective and its image is the full subcomplex. Furthermore, I slightly generalized the condition of Theorem 4.3 such that the combinatorial map can be locally an isometric embedding when $X$ and $Y$ are $\M$-polyhedral complexes where every angle between any edges is more than or equal to $\pi/2$ and $Y$ is locally CAT($\kappa$).
2단원에서는 $\M$-polyhedral complex의 정의와 성질, 3단원에서는 CAT($\kappa$) 공간의 정의와 성질, 그리고 $\M$-polyhedral complex의 국소 공간(local structure)이 언제 CAT($\kappa$) 공간이 되는지에 대해서 이야기하고 있다.
$\M$-polyhedral complex에서 $\M$-polyhedral complex로 가는 함수 중, n차원 cell의 내부가 n차원 cell의 내부로 가는 함수를 조합적 함수(combinatorial map)라고 정의를 한다. 4단원에서는 조합적 함수가 언제 국소적 등거리 변환(local isometry)이 되는지에 대해 이야기하고 있다. $\M$-polyhedral complex의 국소적 구조는 각 점에서의 link와 매우 밀접한 관계를 가지고 있다. 이를 이용해서 정리 4.2에는 조합적 함수가 국소적 등거리 변환이 될 필요충분조건은 link에서 link로 가는 유도된 함수가 $\pi$-거리를 보존하는 함수($\pi$-distance preserving map)가 되는 것임을 보였다. 정리 4.3에서는 정의역과 공역이 둘 다 cube complex이고, 공역이 CAT(0) 공간일 경우, 조합적 함수가 국소적 등거리 변환인지 아닌지를 조합적인 방법으로 판단할 수 있다는 것을 보였다. 보조정리 4.4에서는 cube complex를 다른 $\M$-polyhedral complex로 바꾸고 공역이 CAT($\kappa$) 공간으로 조금 더 일반화 시킨 경우에 대해 말하고 있다.
