This dissertation handled sampling theorems for nonideal samples on shift-invariant spaces: irregular sampling and consistent sampling.
For irregualr sampling, let $V(\phi)$ be a shift invariant subspace of $L^{2}(\mathbb{R})$
with a Riesz or frame generator $\phi(t)$. We take $\phi(t)$ suitably so that the regular sampling expansion : $f(t) = \sum\limits_{n\in \mathbb{Z}}f(n)S(t-n)$ holds on $V(\phi)$.
We then find conditions on the generator $\phi(t)$ and various bounds of the perturbation $\{ \delta _n \}_{n \in \mathbb{Z}}$ under which an irregular sampling expansion
\begin{equation*}
f(t)=\sum_{n \in \mathbb{Z}} f(n+ \delta_n)S_n(t)
\end{equation*}
holds on $V(\phi)$.
We also consider the approximate consistent sampling process in the space $L^2(\mathbb{R})$ of signals of finite energy.
The consistency means that the original signal and its approximation have the same measurements.
We assume that sampling and reconstruction functions $\{\psi_i\}_{i=1}^M$, $\{\phi_j\}_{j=1}^N$ are given as Riesz generators and the measurements $\{\langle f(t),\psi_i(t-qk)\rangle |1\leq i \leq M, k\in\mathbb{Z}\}$ are given as inner-products between the input signal and the sampling functions with rational sampling rate $q=\frac{m}{n}$.
We then find an approximation in the reconstruction space $V(\Phi)$, the shift-invariant space generated by the reconstruction functions, which is consistent with the input signal. We also discuss some relevant properties such as the performance analysis of the consistent approximation.
\noindent 본 학위 논문은 이동불변공간에서의 비이상 샘플을 이용한 샘플링 정리인 불균등 샘플링과 consistent 샘플링에 대해서 다룬다.
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\noindent 불균등 샘플링에서는 먼저 균등 샘플링 전개, $f(t) = \sum\limits_{n\in\mathbb{Z}} f(n) S(t-n),~f \in V(\phi)$, 가 가능한 이동불변 공간 $V(\phi)$ 상에서 불균등 샘플링 전개, $f(t) = \sum\limits_{n\in\mathbb{Z}} f(n+\delta_n) S_n(t),~f \in V(\phi)$, 가 가능하게 되는 생성함수 $\phi(t)$의 조건과 변화량 $\{\delta_n\}_{n\in\mathbb{Z}}$의 상계를 찾는다.
불균등 샘플링이 가능하게 되면 인식 장치의 오차나 잡음 때문에 정확히 정수점 $\{ n\}_{n\in\mathbb{Z}}$에서 샘플값을 측정하지 못하고 $\{n+\delta_n\}_{n\in\mathbb{Z}}$와 같은 불균등한 점에서 샘플값들이 측정 되었을 때 이를 이용하여 입력함수를 정확히 복원할 수 있다.
$V(\phi)$에서 균등 샘플링 전개가 가능하기 위한 필요충분조건이 $V(\phi)$의 reproducing 커널 $q(t,s)$로 만든 수열 $\{q(t,n)\}_{n\in\mathbb{Z}}$이 프레임 또는 리츠기저라는 것과, 불균등 샘플링 전개가 가능하기 위한 충분조건이 수열 $\{q(t,n+\delta_n)\}_{n\in\mathbb{Z}}$이 프레임 또는 리츠기저라는 것을 이용하여 불균등 샘플링 전개가 가능할 조건들을 찾는다.
\noindent Consistent 샘플링이란 입력 신호와 같은 측정값들을 갖는 근사해를 주어진 복원 공간상에서 찾는 것을 말한다.
즉, 이는 실제 입력 신호와 근사해는 주어진 측정 장비를 갖고 있는 관찰자에게는 두 신호가 구분이 되지 않는다는 것을 의미한다.
우리는 유한한 에너지를 갖는 신호에 대해서 consistent 샘플링이 존재하기 위한 조건들을 찾는다.
먼저 샘플링 함수 $\{\psi_i\}_{i=1}^M$와 복원 함수 $\{\phi_j\}_{j=1}^N$가 모두 리츠 생성자로 주어지고, 측정값, $\{\langle f(t), \psi_i(t-qk)\rangle | 1\leq i \leq M, k\in\mathbb{Z}\}$, 이 입력 신호와 샘플링 함수의 내적으로 주어진다. 이 때, 샘플링 비율 $q$는 유리수이다. 그 후에 주어진 샘플을 통해 복원 함수 $\{\phi_j\}_{j=1}^N$로 생성되는 이동불변공간 $V(\Phi)$상에서의 consistent 근사해를 찾고, 이 consistent 근사해가 존재하기 위한 필요충분조건들을 규명한다. 우리는 또한 최소자승오차를 갖는 직교사영해와의 비교를 통해 consistent 근사해의 성능도 분석한다.
