In many practical systems, the presence of some parameters such as small time constants, masses, moments of inertia, and resistances give rise to singularly perturbed systems that has two-time-scale properties. These singularly perturbed systems have been studied in several decades in terms of the stability analysis and the controller design. Using the singular perturbation technique, the singularly perturbed system is decomposed into two lower-order subsystems, that is, the slow subsystem (reduced system) and the fast subsystem (boundary-layer system). From the slow subsystem and the fast subsystem, the stability of a high dimensional system (singularly perturbed system) can be analyzed based on the lower-order subsystem. If the slow subsystem is exponentially stable and the fast subsystem is uniformly exponentially stable, then the whole system (singularly perturbed system) is exponentially stable. From these property, the controller is also designed to stabilize the singularly perturbed system based on the slow subsystem and the fast subsystem. It is called the composite controller, that consists of the slow controller and the fast controller.
From the singularly perturbed system, there are some studies about the non-standard singularly perturbed systems. The non-standard singularly perturbed systems are defined by their own purposes such as the relaxation of the stability condition, multiple perturbation parameter, the existence of time-delay terms. We also define the non-standard nonlinear singularly perturbed system whose the state equations are characterized by the nominal terms with the additive perturbation terms that contain the perturbation parameter. Specifically, the non-standard nonlinear singularly perturbed system is divided into two standard singularly perturbed systems. Based on the well-known standard singularly perturbed system`s properties, we discuss about the exponential stability of the non-standard nonlinear singularly perturbed systems according to the intersection of two slow manifolds. Then, we consider the robust stability of the non-standard nonlinear singularly perturbed system with uncertainties. Before the robust stability of the non-standard system, we propose the robust stability of the standard nonlinear singularly perturbed system with the norm bound information of the uncertainties. Moreover, we deal with the exponential stability of the non-standard nonlinear singularly perturbed system with time-delay by using the Lypaunov-Krasovkii functional and the definition of the exponential stability. Using the stability analysis, we also design the stabilizing controller for the non-standard nonlinear singularly perturbed systems.
Due to the rapid increase in the use of digital controllers from the availability of low-cost digital computers and the advantages such as flexibility in control, low power consumption, and high performance, the singularly perturbed system has been studied not only in the continuous-time but in the discrete-time. In the discrete-time case, the stability, the bound of perturbation parameter, and the controller design of the linear singularly perturbed discrete system have been also considered by the many researchers. However, compared with the linear singularly perturbed discrete system, there are just a few results of the nonlinear singularly perturbed discrete system. We introduce the nonlinear version of the linear singularly perturbed discrete system, and we suggest the slow subsystem and the fast subsystem to analyze the nonlinear singularly perturbed discrete system. We also define the non-standard nonlinear singularly perturbed discrete system whose state equations are characterized by the nominal terms with the additive perturbation terms multiplied by the perturbation parameter like the continuous-time case. Based on the analysis of the standard nonlinear singularly perturbed discrete system, we deal with the non-standard nonlinear singularly perturbed discrete system. Then, the robust stability of the standard and the non-standard nonlinear singularly perturbed discrete system with uncertainties are considered. Moreover, we show the exponential stability of the standard and the non-standard nonlinear singularly perturbed system with time-delay via the Lyapunov-Krasovskii functional.
두 개의 시간 특성을 가지는 특이 섭동 시스템은 다양한 실제 시스템에서 작은 시정수, 질량, 관성 모멘트 등에 인해 나타난다. 이러한 특이 섭동 시스템에 대한 연구는 시스템의 안정성 분석과 제어기 설계에 있어서 많은 연구가 진행되어져 왔다. 이러한 특이 섭동 기법은 고차원의 시스템을 저차원의 시스템 (느린 부시스템, 빠른 부시스템)을 이용하여 분석할 수 있다. 각각의 부시스템들의 안정성은 전체의 특이 섭동 시스템의 안정성을 보장할 수 있으며, 이러한 점에서 제어기 설계에 있어서 또한 각각의 느린 제어기와 빠른 제어기를 설계하여 전체 시스템을 안정화 할 수 있는 복합 제어기를 설계하게 된다.
표준 특이 섭동 시스템에 대한 다양한 연구 결과를 바탕으로 비표준 특이 섭동 시스템에 대한 연구가 진행되어 왔다. 기존의 비표준 특이 섭동 시스템은 안정성 조건을 완화한 시스템, 특이 섭동 파라미터가 다수 존재하는 시스템, 또는 시간 지연을 고려한 시스템 등에 대해 연구가 진행되어져 왔다. 본 논문에서 확장된 비표준 비선형 특이 섭동 시스템을 정의하였다. 제안한 비표준 비선형 특이 섭동 시스템은 기존의 특이 섭동 시스템과 달리 빠른 부시스템과 느린 부시스템이 분리되어져 있지 않고 혼재되어진 형태로 정의하여 기존의 방법으로는 분석이 불가능하다. 많은 연구가 진행 되어온 표준 특이 섭동 시스템에서 느린 다면체를 통해 빠른 부시스템은 짧은 시간 영역 안에서 시스템을 나타내고 느린 부시스템은 긴 시간 영역에서 시스템을 나타낸다는 것을 알 수 있다. 이러한 특징을 이용하기 위해 비표준 비선형 특이 섭동 시스템에서 두 개의 표준 비선형 특이 섭동을 제안하였다. 이러한 두개의 비선형 특이 섭동 시스템에서 각각의 부시스템 (느린 부시스템, 빠른 부시스템)을 이용하여 전체 비표준 비선형 특이 섭동 시스템의 안정성 분석을 하였다. 그리고 불확실성이 존재할 경우에 대한 비표준 비선형 특이 섭동 시스템에 대한 강인 안정성을 분석하였다. 또한 시간 지연이 존재하는 비표준 비선형 특이 섭동 시스템의 지수적 안정성을 보이기 위하여 지수적 안성정의 정의와 리아프노프 함수를 이용하였다. 마지막으로 이러한 비표준 비선형 특이 섭동 시스템에 대한 제어기를 설계하였고 다양한 실제적 예에 대하여 시뮬레이션하였다.
디지털 콘트롤러의 대중화와 저전력, 고효율, 유연성 등의 장점으로 인해 이산시간 시스템에 대한 연구가 활발히 진행되어 왔다. 이러한 점에서 특이 섭동 시스템 또한 시연속 시스템 뿐만 아니라 이산 시간 특이 섭동 시스템에 대한 연구가 활발히 이루어졌다. 이산시간 선형 특이 섭동 시스템은 안성정 분석, 제어기 설계, 특이 섭동 파라미터의 제한 조건 등 다양하게 연구되어져 왔지만 이산시간 비선형 특이 섭동 시스템에 대한 연구는 몇몇 개에 불과하다. 따라서 본 논문에서는 먼저 이산시간 표준 비선형 특이 섭동 시스템에 대하여 정의하였고 두 시간 스케일 분리 및 안성정 분석을 제안하였다. 그리고 시연속 시스템과 같이 이산시간 비표준 비선형 특이 섭동 시스템을 정의하였고 제안한 이산시간 표준 비선형 특이 섭동 시스템의 안정성 분석을 바탕으로 이산시간 비표준 비선형 특이 섭동 시스템의 안정성 분석을 제안하였다. 그리고 불확실성 및 시간 지연을 고려하여 강인 안정성 및 지수적 안정성을 분석하였고 다양한 실제 시스템에 대해서 시뮬레이션하였다.
본 학위 논문에서는 시연속 시스템 및 이산 시간 시스템에서의 비표준 비선형 특이 섭동 시스템을 정의하였다. 이러한 비표준 비선형 특이 섭동 시스템은 기존의 표준 비선형 특이 섭동 시스템과 달리 느린 부시스템과 빠른 부시스템이 혼재되어져 있으며 기존의 특이 섭동 기법으로 분석이 불가능하다. 따라서 이러한 비표준 비선형 특이 섭동 시스템의 분석에 있어서 두개의 표준 특이 섭동 시스템을 제안하여 각각의 부시스템을 통해 전체 비표준 비선형 특이 섭동 시스템을 분석함으로써 분석의 용이성을 제공하였다. 그리고 다양한 실제 시스템의 시뮬레이션을 통해 제안한 방법의 유용성 또한 확인하였다.
