In this dissertation we study new methods for pricing of portfolio credit derivatives such as $k$th-to-default swaps and single tranche synthetic CDOs.
First, we derive the distribution function of the $k$th default time in a semi-analytic and an analytic forms based on one factor contagion model,
which is a combination of a factor copula model and a contagion model.
The correlation between the default times are modeled by Marshall-Olkin copula and the individual default intensities of surviving firms jump at default times by contagion effect.
Using the distribution function, we compute premiums of portfolio credit derivatives
and compare the estimated price with both the existing result and result from Monte carlo method for accuracy and efficiency.
We also check how the correlation and contagion affect the premiums of portfolio credit derivatives.
We also propose a large homogeneous portfolio(LHP) approximation method with two-factor Gaussian copula and random recovery rate.
In addition, we assume that the earlier the default occurs, the less the asset recovers, in other words,
random recovery rate and individual default times have positive rank correlation.
Under the LHP assumption, the conditional cumulative loss of the reference portfolio is approximated by
the product of loss given default and conditional default probability.
In order to derive semi-analytic formulas for the loss distribution and the expected tranche loss,
we use Gaussian two-factor model and assume that the recovery rate depends on one systematic factor.
In addition, we also consider stochastic correlation for a better fit to CDS index tranches.
The derived semi-analytic formula only involves the integration with respect to the standard normal density and can be computed by Gauss-Hermite quadrature.
Numerical tests show that the two-factor model with stochastic correlation and random recovery fits better to iTraxx tranche premiums
than other correlation or recovery assumptions.
이 논문에서는 부도위험이 있는 자산으로 이루어진 포트폴리오를 모형화하는 두 가지 방법과
각 모형의 신용 파생상품 가격 계산에의 응용에 대하여 연구하였다.
두 가지 방법 모두 코퓰라 모형 혹은 요인 모형을 사용하는데 여기에서는 다음 두 가지를 가정한다.
첫째로 모든 자산에 영향을 미치는 체계적 요인과 하나의 자산에 영향을 미치는 개별적 요인이 존재한다는 것과
둘째로 모든 부도 시간들은 체계적 요인이 주어져 있을 때 조건부 독립이라는 것이다.
3장에서는 감염모형과 마샬-올킨(Marshall-Olkin) 코퓰라 모형을 결합한 새로운 모형을 연구하였다.
감염모형이란 한 회사가 부도가 났을 때 남은 회사들에도 영향을 미치는 모형으로
주어진 포트폴리오에서 부도가 일어날 때 마다 남은 자산의 부도 확률이 증가한다고 가정한다.
코퓰라 모형은 일반적으로 포트폴리오 내의 자산끼리의 상관관계를 표현하는데 쓰이는데,
상관관계가 클수록 주어진 시간 내에 다 같이 부도가 나거나 다 같이 살아남을 확률이 크다.
특히 마샬-올킨 코퓰라 모형은 여러 회사가 동시에 부도가 나는 상황을 모형화 할 수 있다는 장점이 있다.
기존의 감염모형은 코퓰라 모형을 다루지 않았지만 이 논문에서는 두 모형을 결합함으로써
그 결과가 신용 파생상품의 가격에 어떠한 영향을 미치는지 알아볼 수 있다.
그리고 k번째 부도 시간의 확률분포 함수의 해석적 공식 및 준해석적 공식을 유도하여 몬테 카를로 방법을
사용하는 것 보다 빠른 시간 안에 신용 파생상품의 가격 계산이 가능하다.
포트폴리오 내에서 부도가 일어날 때 마다 남은 자산들의 회수율이 감소하는 경우도 다루어 보았다.
4장에서는 2요인 가우시안 코퓰라 모형을 사용하여 크기가 크고 균일한 포트폴리오(large homogeneous portfolio)의 누적 손실의 근사에 대하여 연구하였다.
또한 CDO 프리미엄을 기존의 모형보다 더욱 정확하게 계산하기 위해 상관관계와 회수율이 확률적으로 주어진다고 가정하였다.
이러한 가정 하에서 포트폴리오의 누적 손실의 확률 분포와 주어진 트란슈(tranche)의 손실의 기대값을 계산하는 준해석적인 공식을 유도하여 CDO의 가격계산에 응용하였다.
수치계산적인 측면에서 보았을 때는
체계적 요인과 개별적 요인으로 정의되는 잠재변수가 표준정규분포를 따르고 유도한 공식이 일차원 적분으로 주어지므로
간단한 가우스-에르미트(Gauss-Hermite) 구적법을 통해 수치적 계산이 가능하다.
그리고 계산 결과를 보면 이 논문에서 연구한 모형인 상관관계와 회수율이 모두 확률적으로 주어지는 경우가
기존의 모형보다 시장가격에 잘 맞는 것을 관찰할 수 있다.
