The finite element method is invented for finding numerical approximate solutions of partial differential equations. In the real world, there are many examples such that rapid changes of field variables on surfaces. In many cases, they are regarded as discontinuities, singularities, or high gradients for the modeling. These are found in structures for cracks, dislocations, voids, shear bands, and inclusions. The extended finite element methods can us the accurate approximation of non-smooth solutions. The method constructs an approximation space consisting of mesh-based or mesh-free, enriched functions near discontinuities, singularities, or high gradients and classical finite element method basis functions elsewhere. In this thesis, we introduce strategies for the approximation of non-smooth solutions. First, we conduct an experiment on classical finite element method for the smooth solution problem. After then, we explain the terminologies and examine the structure of the extended finite element methods. Finally, we pick over the linear elastic problem and the Navier-Stokes equation and suggest some methods, respectively.
유한요소법은 편미분방정식의 수치적 근사해를 구하기 위해 고안된 방법이다. 유한 요소법은 고체 재료와 유체 재료의 물리현상을 해석하는데 중요한 방법으로 자리를 잡았다. 하지만, 많은 경우 우리가 실생활에서 관찰하는 수 있는 영역에서 길이 변화율이 조금만 변화해도 그 양이 급격히 변화하는 상황들을 쉽게 찾아 볼 수 있다. 이러한 현상들은 무엇이 갈라져 생긴 금, 변위, 빈 공간, 깍인 띠(테) 등에서 찾아볼 수 있다. 이러한 현상들을 간단히 기술하기 위해 모델링을 한 불연속성, 특이성, 높은 변화도에서 가지는 해의 결과를 해석하는 데에는 어려움이 있다. 확장된 유한 요소법은 이러한 난제를 해결하기 위해 고안된 방법이다. 확장된 유한 요소법은 격자, 불연속이나 특이성 주위에서의 확장함수, 다른 부분에서는 일반적인 유한요소법의 기저함수로 구성되어져있다. 본 논문에서는, 연속적이지 않은 해의 근사치를 구하는 전략을 제시한다. 먼저, 우리는 연속 함수를 해로 가지는 문제를 유한요소법으로 실험한 것을 보여주었다. 그 다음에 확장된 유한요소법에 사용하는 용어와 구조에 대해서 다루었다. 마지막으로 갈라진 틈을 가지고 있는 선형 탄성 방정식과 계면에서 연속적이지 않은 나비에-스토크스 방정식을 다루고 지금까지 알려져 있는 문제 풀이 방법 이외의 새로운 방법을 제시하였다.
