In this paper, we mainly prove that the following the fifth-order equation arising from the Korteweg-de Vries (KdV) hierarchy
\begin{equation*}
\begin{cases}
\pt u + \px^5 u + c_1\px u\px^2 u + c_2u\px^3 u = 0 \qquad x,t \in \R \\
u(0,x) = u_0(x) \qquad u_0 \in H^s(\R)
\end{cases}
\end{equation*}
is locall well-posed with initial data in $H^s(\R)$ for $s > \frac54$. \\
The method is a short time $X^{s,b}$ space, which is developed by Ionescu-Kenig-Tataru \cite{IKT} in the context of the KP-I equation. In addition, we use a weight on $X^{s,b}$ to reduce the contribution of high-low frequency interaction where the low frequency has large modulation in the proof of energy estimate.
As an immediate result from a conservation law, we have the second equation in the KdV hierarchy,
$$\partial_t u - \px^5 u -30u^2\px u + 20\px u\px^2 u + 10u\px^3u=0$$
is globally well-posed in $H^2$.\\
Moreover, we introduce the standard \emph{$X^{s,b}$ space} and counter-examples that the nonlinear estimates fails in the usual \emph{$X^{s,b}$ spaces}. We also prove that the KdV equation is locally well-posed with initial data in $H^s(\R)$ for $s > -\frac34$ by using the Picard iteration argument.
본 논문의 핵심 내용은 KdV hierarchy로 부터 생성된 아래의 5계 방정식이 $s > \frac54$에 대하여 해가 존재함을 증명하는 것이다.
\begin{equation*}
\begin{cases}
\pt u + \px^5 u + c_1\px u\px^2 u + c_2u\px^3 u = 0 \qquad x,t \in \R \\
u(0,x) = u_0(x) \qquad u_0 \in H^s(\R)
\end{cases}
\end{equation*}
그 방법으로는 Ionescu-Kenig-Tataru \cite{IKT}가 KP-I 방정식을 풀기 위해 사용했던 $X^{s,b}$ 구조를 이용하는 것이다. 뿐만 아니라 energy estimate의 증명 과정에서 발생하는 low frequency - high modulation 문제점을 해결하기 위해 weight을 사용하였다.
이 결과로 부터 잘 알려진 보존법칙에 의해 아래의 KdV hierarchy가 $H^2$에서 전 시간동안 해가 존재함을 얻게 된다.
$$\partial_t u - \px^5 u -30u^2\px u + 20\px u\px^2 u + 10u\px^3u=0$$
뿐만 아니라, 일반적인 $X^{s,b}$ 함수 공간에 대한 소개와 그것이 가지는 한계성을 보여주는 예를 소개하고 있다. 또한, KdV 방정식이 $s > -\frac34$에 대하여 해가 존재함을 증명하였다.
