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Local well-posedness of the fifth-order KdV equations for rough data using short time $X^{s,b}$ structures = $X^{s,b}$ 구조를 이용한 5계 KdV 방정식의 해의 존재성 연구
서명 / 저자 Local well-posedness of the fifth-order KdV equations for rough data using short time $X^{s,b}$ structures = $X^{s,b}$ 구조를 이용한 5계 KdV 방정식의 해의 존재성 연구 / Chul-Kwang Kwak.
저자명 Kwak, Chul-Kwang ; 곽철광
발행사항 [대전 : 한국과학기술원, 2012].
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MMAS 12005

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초록정보

In this paper, we mainly prove that the following the fifth-order equation arising from the Korteweg-de Vries (KdV) hierarchy \begin{equation*} \begin{cases} \pt u + \px^5 u + c_1\px u\px^2 u + c_2u\px^3 u = 0 \qquad x,t \in \R \\ u(0,x) = u_0(x) \qquad u_0 \in H^s(\R) \end{cases} \end{equation*} is locall well-posed with initial data in $H^s(\R)$ for $s > \frac54$. \\ The method is a short time $X^{s,b}$ space, which is developed by Ionescu-Kenig-Tataru \cite{IKT} in the context of the KP-I equation. In addition, we use a weight on $X^{s,b}$ to reduce the contribution of high-low frequency interaction where the low frequency has large modulation in the proof of energy estimate. As an immediate result from a conservation law, we have the second equation in the KdV hierarchy, $$\partial_t u - \px^5 u -30u^2\px u + 20\px u\px^2 u + 10u\px^3u=0$$ is globally well-posed in $H^2$.\\ Moreover, we introduce the standard \emph{$X^{s,b}$ space} and counter-examples that the nonlinear estimates fails in the usual \emph{$X^{s,b}$ spaces}. We also prove that the KdV equation is locally well-posed with initial data in $H^s(\R)$ for $s > -\frac34$ by using the Picard iteration argument.

본 논문의 핵심 내용은 KdV hierarchy로 부터 생성된 아래의 5계 방정식이 $s > \frac54$에 대하여 해가 존재함을 증명하는 것이다. \begin{equation*} \begin{cases} \pt u + \px^5 u + c_1\px u\px^2 u + c_2u\px^3 u = 0 \qquad x,t \in \R \\ u(0,x) = u_0(x) \qquad u_0 \in H^s(\R) \end{cases} \end{equation*} 그 방법으로는 Ionescu-Kenig-Tataru \cite{IKT}가 KP-I 방정식을 풀기 위해 사용했던 $X^{s,b}$ 구조를 이용하는 것이다. 뿐만 아니라 energy estimate의 증명 과정에서 발생하는 low frequency - high modulation 문제점을 해결하기 위해 weight을 사용하였다. 이 결과로 부터 잘 알려진 보존법칙에 의해 아래의 KdV hierarchy가 $H^2$에서 전 시간동안 해가 존재함을 얻게 된다. $$\partial_t u - \px^5 u -30u^2\px u + 20\px u\px^2 u + 10u\px^3u=0$$ 뿐만 아니라, 일반적인 $X^{s,b}$ 함수 공간에 대한 소개와 그것이 가지는 한계성을 보여주는 예를 소개하고 있다. 또한, KdV 방정식이 $s > -\frac34$에 대하여 해가 존재함을 증명하였다.

서지기타정보

서지기타정보
청구기호 {MMAS 12005
형태사항 ii, 54 p. : 삽도 ; 30 cm
언어 영어
일반주기 저자명의 한글표기 : 곽철광
지도교수의 영문표기 : Soon-Sik Kwon
지도교수의 한글표기 : 권순식
Including Appendix
학위논문 학위논문(석사) - 한국과학기술원 : 수리과학과,
서지주기 References : p. 50-51
주제 $X^{s
b}$ space
local well-posedness
the KdV equation
the fifth-order KdV
$X^{s
b}$ 함수 공간
해의 존재성
KdV 방정식
5계 KdV 방정식
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