Newtonian Potential is defined as a convolution of the fundamental solution of the Laplace equation and a source function. The fundamental solutions of the Laplace equations impose restrictions on the Newtonian potentials due to the dimension dependency of their form. In order to resolve the dimensional restrictions, Relative Newtonian Potential is introduced in a unified way for all dimensions. The Newtonian potentials also represent steady states of diffusion equations with the same source. In $\R$ and $\R^2$, diffusion equations with Dirac source have no equilibrium solution. We study the validity of the relative Newtonian potentials and the steady states of diffusion equations towards the relative Newtonian potentials.
뉴턴 퍼텐셜(Newtonian Potential)은 라플라스 방정식의 기본해(fundamental solution)와 어떤 소스함수의 컨볼루션으로 정의된다. 차원에 따라 그 형태가 나뉘는 라플라스 방정식 기본해의 특성 때문에 뉴턴 퍼텐셜을 다룰 때에는 차원에 대한 제약이 따를 수 밖에 없다. 이를 극복하고자 차원에 대해 통합된 형태로 표현할 수 있는 상대적 뉴턴 퍼텐셜(Relative Newtonian Potential)이라는 개념을 도입한다. 상대적 뉴턴 퍼텐셜은 공간의 무한범위에서 충분한 decay를 갖는 소스에 대해 모든 차원에서 잘 정의되고 이는 특히 차원이 2이하인 경우에 대해 총 질량이 0인 소스를 고려해야 한다는 의미가 된다. 이러한 개념을 같은 질량을 갖는 두 소스의 차이로 해석한다면 상대적 뉴턴 퍼텐셜이라는 이름의 의미가 보다 분명해진다. 아울러 뉴턴 퍼텐셜과 상대적 뉴턴 퍼텐셜이 모두 잘 정의된다면 두 가지 퍼텐셜은 서로 동일한 것이 된다.
앞서, 방사대칭(radial symmetry)형 소스에 대한 상대적 뉴턴 퍼텐셜을 정의한 J. Chung과 Y. Kim의 연구가 있었다. 뉴턴 정리(Newton`s Theorem)가 뜻하는 바를 상대적 뉴턴 퍼텐셜의 개념을 바탕으로 재정립하고, 비방사대칭(non-radial symmetry)형 소스에 대한 상대적 뉴턴 퍼텐셜의 모양을 직관적으로 예측하였다. 본 논문에서는 비방사대칭형 소스에 대해 새롭게 정의한 상대적 뉴턴 퍼텐셜이 과연 J. Chung과 Y. Kim의 연구에서 정의했던 방사대칭형 소스에 대한 상대적 뉴턴 퍼텐셜을 포함할 수 있는 일반화된 뉴턴 퍼텐셜이라 할 수 있는지 그 관계성을 가시적으로 설명한다.
한편 뉴턴 퍼텐셜은 같은 소스에 대한 푸아송 방정식의 해가 되는데, 이는 동일한 소스가 있는 공간에서 열의 확산이 평형 상태에 도달한 것으로 볼 수 있으며, 이러한 관점에서 뉴턴 퍼텐셜을 열방정식의 정상상태해(steady state solution)로 다루기도 한다. 총 질량이 1인 점열원(point heat source)에 대해 열방정식이 정상상태해를 갖는다면 그것이 라플라스 방정식의 기본해가 될 것임을 기대할 수 있겠다. 실제로 차원이 3이상일 때는 열방정식의 해가 시간이 흐름에 따라 라플라스 방정식의 기본해로 수렴하고, 차원이 2이하일 때는 그 해가 발산한다는 사실이 알려져있다. 일반적인 소스에 대해서도 3차원 이상일 때의 수렴성만이 보장된다. 그러나 차원이 2이하인 경우라 해도 총 질량이 0인 소스에 대한 퍼텐셜, 즉 같은 질량을 갖는 두 소스에 대한 상대적 온도 차를 고려한다면 해가 발산하는 요인을 상쇄시키는 효과가 있어 결국 모든 차원에서 그 해가 상대적 뉴턴 퍼텐셜로 수렴하는 것을 확인할 수 있다.
