In this paper, I will survay results of Eisenbud, Green, Hulek and Popescu who proved
that if $\ix$ is $2$-regular, then the same is true for the ideal of any linear section of $X$, so long as the intersection has dimension $\leq 1$. Moreover, they proved the equivalence of smallness, $2$-regularity and linearly joined sequence of varieties of minimal degree for algebraic sets.
For a finitely generated module $M$ over a polynomial ring $S=k[x_0,\cdots,x_{n}]$ with $k$ an algebraically closed field of arbitrary characteristic, we say that $M$ is $r$-regular(in the sense of Castelnuove and Mumford) if the $i$-th syzygy module of $M$ is generated in degrees less than or equal to $r+i$.
The first paper $[1]$ of Eisenbud, Green, Hulek and Popescu studying any linear section of $d$-regular closed subscheme $X\subset\mathbb{P}^{n}$. Under some restriction, the ideal of the linear section of $X$ also satisfies $d$-regularity. The second paper $[2]$ of them is studying $2$-regular algebraic sets. This paper says that a $2$-regularity is equivalent to smallness in algebraic sets and it can be represented by a linearly joined sequence of varieties of minimal degree. This result gives a geometric point of view to understanding $2$-regularity.
이 논문에서는 Green-Lazarsfeld 에 의해서 정의된 완전매립(complete
embedding)된 대수다양체의 $\mathrm{N}_{p}$ 성질을 보다 일반적인 비완전매립된 대수다양체에 대해서 $\ntwop$에 대한 성질로 일반화된다.
우리는 이 논문에서 이러한 성질을 가진 다양체의 기하학적 성질 중의
하나로써 linear section들이 아주 특별한 다양체임을 증명한다. 좀 더
구체적으로 $X\subset\pn$이 closed subscheme 이고 자연수 $p$에 대하여
$\ntwop$ 성질을 만족하며 $\Lambda\subset\pn$ 이 dimension $p$ 이하인
linear subspace 일 때, $\dim(X\cap\Lambda)\leq 1$ 이면 $\ixl$ 이
$2$-regular 임을 보인다. 이의 증명은 spectral sequences 와
hypercohomology를 이용하여 증명하며, 이 정리에 의해서 $X$가
$2$-regular 이면 small임을 알수 있다. 사실 $2$-regularity와
smallness 는 algebraic set 에서는 동치가 되며 이는 구체적으로
varieties of minimal degree 의 linearly joined sequence 로
표현된다는 사실을 소개한다. 이 정리에 의해서 $2$-regular algebraic set들의 분류가 완전하게 이루여졌다. 좀 더 일반적인 $2$-regular 스킴(scheme)에 대한 분류문제는 아직 미해결로 남아있다.
