We prove
that
the
multilinear
fractional integral
operator
$ I _{ \alpha } ( f_1
, \ldots , f_k )(x)
=
\int _{ \mathbb{ R } ^n }
f_1 ( x - \theta _1 y ) \ldots f_k ( x - \theta _k y ) | y | ^{
\alpha - n } dy $,
where $ \theta _j , \ j=1, \ldots , k $ are
distinct and nonzero, (due to L. Grafakos \cite{G})
has
the endpoint weak type boundedness into $ L ^{ r ,
\infty } $ when $ r = \frac{ n }{ 2n - \alpha } $.
Moreover,
We also prove that $ I _{ \alpha } $ is not
bounded into $ L ^r $ for any $ r < \frac{ n }{ 2n - \alpha } $
under some conditions on $ \theta _j $`s.
Similarly,
we show that the
multilinear Hilbert transform $ H ( f, g, h_1 , \ldots , h_k ) (x) =
\textrm{ p.v. } \int f (x+t) g (x-t) \prod _{ j=1 } ^k h_j ( x -
\theta _j t ) \frac{ dt }{ t } $, where $ \theta _j \neq \pm 1 $ are
distinct and nonzero, is not bounded into $ L ^r $ for any $ r <
\frac{1}{2} $ under some conditions on $ \theta _j $`s.
1992년도에 L. Grafakos 는 다음과 같은
multilinear fractional integral operator \\
$ I_{ \alpha } ( f_1 , \ldots , f_k ) ( x ) =
\int _{ \mathbb{ R } ^n } f_1 ( x - \theta _1 t ) \ldots f_k ( x - \theta _k t )
\frac{ 1 }{ | t | ^{ n - \alpha } } dt $ 의 연속성 (mapping ; boundedness)
를 연구하였다.
즉, $ I_{ \alpha } $는 $ L ^{ p_1 } \times \ldots \times L ^{ p_k } $ 에서
$ L ^q $ 으로 연속이고, 여기서 $ p_1 , \ldots , p_k \ge 1 $ 이고
$ 1 \le q < \infty $ 이고, $ q $ 와 $ p $ 의 관계는
$ \frac{ 1 }{ q } = \frac{ 1 }{ p_1 } + \ldots + \frac{ 1 }{ p_k }
- \frac{ \alpha }{ n } $ 이다.
1999년도에 E. M. Stein 과 C. Kenig 는 bilinear fractional integral operator
$ I_{ \alpha } ( f_1 , f_2 ) ( x ) = \int _{ \mathbb{ R } ^n }
f_1 ( x - \theta _1 t ) f_2 ( x - \theta _2 t ) \frac{ 1 }{ | t | ^{ n - \alpha } } dt $
에 대하여, 그것의 연속성 (boundedness) 이
$ I _{ \alpha } : L ^{ p_1 } \times L ^{ p_2 } \rightarrow L ^q $ 이고,
여기서 $ p_1 , p_2 \ge 1 $ 이고 $ q < \infty $ 이고
$ \frac{ 1 }{ q } = \frac{ 1 }{ p_1 } + \frac{ 1 }{ p_2 } - \frac{ \alpha }{ n } $
이다.
즉, $ I _{ \alpha } ( f_1 , \ldots , f_k ) $ 의 boundedness 의
제한 조건 $ 1 \le q < \infty $ 이
$ I _{ \alpha } ( f_1 , f_2 ) $ 의 경우에
사라진 것을 알 수 있습니다.
그리고, E. M. Stein 과 C. Kenig 는 위와 같은
$ I _{ \alpha } ( f_1 , \ldots , f_k ) $ 에 대해서,
$ q < 1 $일 경우에 어떤 결과가 나타날지 의문을 제기했습니다.
이 논문의 연구결과는 다음과 같이 말 할 수 있다.
$ I_{ \alpha } $는 $ L ^{ p_1 } \times \ldots \times L ^{ p_k } $에서
$ L ^q $로 연속 (boundedness)이고, 여기서
$ \frac{ 1 }{ q } = \frac{ 1 }{ p_1 } + \ldots + \frac{ 1 }{ p_k }
- \frac{ \alpha }{n} $, $ p_1 , \ldots , p_k > 1 $,
$ q > \frac{ n }{ 2n - \alpha } $ 이다.
그리고, $ q < \frac{ n }{ 2n - \alpha } $에서는
$ I_{ \alpha } $는 $ L^q $으로 연속 (boundedness)이지 않다.
이것으로서 그 의문은 명확하게 해결된다.
