The time-domain boundary element method (TBEM) employs a time marching scheme to calculate the Kirchhoff integral for an accurate prediction of various transient wave propagation problems. However, TBEM suffers the inefficiency due to its complicated formulation and numerical instability which typically stems from the time marching scheme. The responses exhibit exponential divergence when the poles of TBEM calculation are enlarged to become larger than one by numerical approximation errors. Recently, monotonically varying instability, which was related to the non-oscillating mode in closed cavities, was also observed, but its cause has not been clearly explained. Besides, notwithstanding the fact that the time-domain expression of the actual boundary condition is required in realizing the TBEM, the estimated or measured boundary condition is usually given as a function of frequency.
This study aimed to improve the stability, efficiency, and applicability of TBEM calculation. To achieve this, physical and numerical characteristics of TBEM for acoustic problems with all types of boundary conditions were firstly investigated using the eigen-analysis. The general TBEM formulation could be represented by the discrete convolution sum of a multi-input multi-output infinite impulse response system. A recursive infinite impulse response filter was also used as a time-domain impedance expression. To investigate the cause of monotonically diverging instability, the non-oscillating mode in the rigid cavity with an arbitrary shape is examined by using the modal othogonality. It was shown that the components of the non-oscillating mode are varying monotonically as a linear function, and the slope of the monotonic variation depends on the amount of an input excitation. Therefore, TBEM calculation includes two non-oscillatory modes with different slopes. However, monotonically varying phenomenon is against the basic assumption of perturbation theory, which is used in deriving the linear wave equation. Accordingly, it is necessary to make the time varying slope of non-oscillatory modes to be zero.
The TBEM calculation for an exterior problem is not unique at certain eigen-frequencies associated with the fictitious internal modes as happening in frequency-domain analysis. One of the solution methods is the CHIEF (Combined Helmholtz Integral Equation Formulation) approach, which is based on employing additional zero-pressure constraints at some interior points inside the body. Although this method has been widely used in frequency-domain boundary element method due to its simplicity, it was not used in time-domain analysis. In this work, the CHIEF approach is formulated appropriately for TBEM calculation by constraining the unknown surface pressure distribution at the current time, which was obtained by setting the pressure at the interior point to be zero considering the shortest retarded time between boundary nodes and interior point.
To stabilize the TBEM calculation, this study suggested the wave vector filtering method. In this algorithm, the response is projected on the wave vector space in the least square sense, and stabilization is achieved by adjsuting the components of troblesome wave vectors at each time step; Oscillatory unstable wave vectors with high frequencies are truncated, and non-oscillatroy wave vectors of the static mode are adjusted to be conserved regardless of magnitudes of their eigenvalues. To avoid the detioration of transient characteristics of the response, the filtering algorithm was applied when input excitation nearly drops off.
Numerical simulations of interior and exterior problems are performed in order to verify the present methodologies. Sound radiation of a pulsating sphere was used as a test example for an exterior problem. By applying the CHIEF method, the low-order fictitious modes could be damped down satisfactorily, thus solving the non-uniqueness problem. Although, it was observed that the instability due to high-order fictitious modes, which were beyond the effective frequency, was increased, it can be stabilized by applying wave vector filtering method. In comparison with the results of the analytic solution, the average of relative difference norm in the stabilized time response was 2.6%. As a test example for the interior problems, a transient sound field within a partially lined, parallelepiped box was used, within which a point source was excited by an octave band impulse. In comparison with the results of the inverse Fourier transform of a frequency-domain BEM, the average of relative difference norm in the stabilized time response was 4.4%. In addition, the flatter echo phenomenon between two finite reflecting walls was tested. It is thought that the proposed method can be used for the stabilization of the time-domain boundary integral calculation for the interior problems with all types of boundary conditions.
시간 영역 음향 경계요소법 (Time-domain Boundary Element Method; TBEM)은 Kirchhoff 적분식과 시간에 대해 순차적으로 계산하는 방식인 시간 진행 기법을 기초로 하며, 다양한 음향 문제들을 시간 영역에서 다룰 수 있는 방법이다. 그러나 이 방법은 지수함수적으로 발산하는 수치적 불안정성 문제를 가지며, 많은 안정화 알고리즘들이 제안되었음에도 항상 수치적 안정성을 확보할 수는 없었다. 또한, TBEM 방법은 주파수 영역의 Helmholtz 적분식과 비교하여 상대적으로 복잡한 Kirchhoff 적분식을 계산해야 하기 때문에 계산량이 많은 단점이 있다. 특히 비유일성 문제를 해결하기 위해 공간 미분된 적분식을 계산하는 경우에는 수식이 더욱 복잡해질 뿐만 아니라 초강 특이성 문제를 해결하여야 하기 때문에, 계산량은 더욱 많아져 TBEM 방법의 효율성이 떨어지게 된다. 이와 같은 이유들로 TBEM 방법은 적용범위가 매우 한정되어 왔으며, 시간 영역에서 정의된 임피던스를 이용한 실제적인 문제를 다룬 예도 거의 없었다. 본 연구에서는 상기 언급한 문제점들을 착안하여 TBEM 계산의 안정성과 적용성을 높이고자 하였다. 이를 위해 단일 반복 행렬식으로 유도된 TBEM 계산의 고유 방정식을 풀어, 개별적인 해석 문제들에서의 고유 방사 모드들의 모드 변수들을 파악함으로써 계산 모델의 정확도를 평가하고자 하였다. 또한 1보다 큰 고유치를 갖는 불안정 고유 모드들을 조사함으로써, 수치적 안정화의 가능성을 검토하고자 하였다.
먼저, 0Hz의 정적인 모드와 관련된 단조 증가하는 불안정성 문제의 원인을 규명하고자 하였다. 내부 문제나 공간 미분한 적분식을 사용하는 외부 음향 문제에 대한 TBEM 계산에서는 두 개의 비요동 모드들에 의해 단조 증가하는 수치적 불안정성 문제가 발생한다. 이에 대한 원인 규명을 위해 강체 경계 조건의 임의 내부 공간에 대한 정적 모드의 모드 계수에 대한 시간 함수를 해석적으로 계산하였다. 그 결과, 외부 음원의 가진이 없는 경우에는 정적 모드 성분은 일정한 기울기로 지속적으로 단조 변화를 하게 되며, 외부 음원의 가진이 주어지게 되면 그 크기만큼 단조 변화하는 기울기가 증가하는 것을 확인하였다. 따라서, 특정 값의 지수함수적인 기울기로만 변화하는 고유 모드들로 구성된 TBEM 계산에서는 두 개의 서로 다른 감쇠율을 갖는 비요동 모드가 포함되어야만 임의의 기울기로 단조 변화하는 정적 모드를 구현할 수 있었다. 그러나 이러한 단조 변화 특성은 선형 파동 방정식을 유도하는 과정에서 사용하였던 섭동 이론을 위배하고 있기 때문에 이를 피할 수 있는 안정화 방법이 필요하였다.
두 번째, 본 연구에서는 계산의 효율성을 높이면서 비유일성 문제를 해결하기 위해 적용이 간편한 CHIEF 방법을 TBEM 방법에 적합하도록 수식화하였다. 이 방법에서는 내부의 가상 수음점과 경계 표면의 절점들간의 최소 거리에 대한 지연시간을 고려하여, 계산하고자 하는 미지수인 현재 시간의 경계 표면 음장을 0으로 구속하는 식이 추가로 사용되었다. 이 방법은 이미 사용되고 있는 Burton-Miller 방법의 복잡한 수식에 따른 계산량의 증가나 초강 특이성 문제, 그리고 비요동 모드에 의한 단조 변화하는 수치적 불안정성 문제를 피할 수 있으며, 저차의 가상적인 내부 음향 모드들에 기인한 비유일성 문제를 해결할 수 있었다. 그러나 고차 모드들과 관련된 비유일성 문제와 수치적 불안정성 문제는 여전히 존재하였다. 이와 같이 CHIEF 방법으로 해결하지 못한 고차의 불안정 가상 모드들은 본 연구에서 제안한 파동 벡터 필터링 방법을 이용하여 안정화시키고자 하였다.
마지막으로, TBEM 계산의 수치적 안정화를 위해서 불안정 요동 모드들과 비요동 모드들의 성분 크기를 매 시간 간격마다 조절하는 파동 벡터 필터링 방법을 제안하였다. 불안정한 요동 모드들은 대부분의 경우 수치 오차가 점차 커지는 유효 주파수 범위를 넘어선 영역에서 발생하기 때문에 그 성분의 크기를 0으로 변경하여 무시하였다. 비요동 모드들의 고유치 크기는 파동 벡터 필터링을 적용함으로써 1로 변경되었으며, 이에 따라 단조 변화하는 기울기의 크기가 모드 성분에 관계없이 0으로 결정이 되며 단조 변화하는 특성을 제거할 수 있었다. 본 연구에서 제안된 CHIEF 방법과 파동 벡터 필터링 방법은 내부 혹은 외부 공간에 대한 Kirchhoff 적분식에 기초한 다양한 파동 거동 문제들에 적용할 수 있을 뿐만 아니라, 모든 형태의 경계 조건이 주어진 문제들에서도 항상 수치적 안정성을 확보할 수 있으리라 생각된다.
