In order to isolate vibration from a source, a vibration isolation element such as a mount, bush is inserted between the source and the receive structure. More perfect isolation of vibration can be achieved by re-design of the vibration isolation element or structural modification of the receive structure based on the analysis such as transfer path analysis and vibration power analysis. For these approaches the force signal transmitted into the receiver structure is required. Instead of measuring force signals which is troublesome due to installation of force sensors into the structure, force signal can be estimated using the characteristics or model of the vibration isolation element and experimentally obtained deformation signal based on the methods such as the complex stiffness method, the force-state mapping technique and etc. Based on the complex stiffness method, force is estimated by multiplication of complex stiffness of the vibration isolation element and Fourier transform of the deformation signal. This method supposes a vibration isolation element to be linear and have memory effect in time domain, which is equivalent to frequency dependence of complex stiffness I frequency domain. By contrast, the force-state mapping technique assumes the element to have zero-memory and nonlinearity which is represented by amplitude dependence of complex stiffness. Practically, most of the vibration isolation elements have both nonlinearity and memory effect. Therefore the model with a linear convolution integral for the description of memory effect and a nonlinear polynomial for nonlinearity is suggested in this paper, and its construction procedure of the suggested model is also proposed; complex stiffness for the construction of the kernel of the linear convolution integral and the nonlinear force-state map for the construction of the nonlinear polynomial. After validation of the construction procedure using simulation data, the model of a cabin mount for an excavator is obtained as a real example. Finally it is discussed that the using the suggested model provides not only accurate force estimate in time domain but also successful representation of the frequency- and amplitude-dependence of the complex stiffness of the mount compared with using the conventional methods such as polynomial model, NARMAX model, artificial neural network model and Bouc-Wen model.
본 연구에서는 진동절연요소의 비선형성과 이력 특성을 효율적으로 묘사하기 위한 모형을 제안하고, 대상 요소에 대한 실험을 통해 모형을 구성하기 위한 절차를 언급하였다. 진동절연요소의 이력 의존성과 비선형성을 효율적으로 묘사하기 위해 합성곱과 비선형 다항식의 조합으로 모형을 제안하였다. 합성곱 커널의 푸리에 변환인 복소강성은 정수차 다항식 분수형 전달함수로 모형화 하였다. 물리 법칙에 근간을 두지 않고 제안된 모형이 안정하고 인과적이도록 구속조건을 유도하였다. 모형의 구성 절차는 두 단계로 제안하였다. 소 진폭의 힘/변형 신호로부터 복소강성을 얻고, 이를 정수차 다항식 분수형 전달함수 모형으로 곡선접합 한다. 여기서, 전달함수 모형의 분자/분모 차수는 시간 영역 변형 신호에 대한 교차 검증으로 선정하였다. 대 진폭 데이터와 앞서 구성한 전달함수 모형을 바탕으로 비선형 힘 성분을 계산하고, 이를 비선형 힘-상태 사상으로 나타낸 후 비선형 다항식으로 모형화 하였다. 비선형 다항식의 최고 차수는 10 fold 교차 검증으로 결정하였다. 최고 차수만으로 정의된 비선형 다항식에서 불필요한 항을 탐지/제거하였다. 그 과정에서, 비선형 힘 신호에 대한 기여도를 각 항 별로 평가하여 중요 순위를 부여하고, 중요 순위에 따라 순차적으로 모형에 포함시키며 AIC’s/BIC’s을 계산하였다. 여기서, AIC’s/BIC’s는 오차 항과 패널티 항의 합으로 정의되며, 패널티 항은 매개변수 개수에 비례하고 데이터 길이에 반비례하는 구조를 갖는다. 즉, 정확하고 매개변수가 적은 모형은 작은 값의AIC’s/BIC’s를 갖는다. 따라서 AIC’s/BIC’s가 최소 값이 되는 모형의 항을 필요한 것으로 판단한다.
모형 구성 절차를 검증하고 기존 방법과 비교하기 위해, 다양한 모사 실험 모형에 대하여 수치 실험을 실시하였다. 이로써 얻은 힘/변형 신호에 대하여 기존의 선형 항 차수 결정 방법인 ARMAX-AIC를 적용한 결과, 모사 실험 모형과 다른 차수를 선정하는 경우가 대부분이었다. 그러나 본 연구에서 제안한 시간 영역 변형 신호에 대한 교차 검증 방법은 모사 실험 모형과 동일한 차수를 선정하였다. 비선형 다항식에서 최고 차수가 불필요하게 높은 경우, 비록 매개변수가 많다 하더라도 정확도의 개선 효과는 미미하다. 이에 착안하여, 비선형 다항식의 최고 차수 결정 시 AIC’s/BIC’s 방법을 적용해 최고 차수를 결정해보았다. 그러나 결과에서 일관성이나 타당성이 없었다. 10 fold 교차 검증을 적용해 최고 차수를 결정하는 경우, 올바른 최고 차수를 선정하였다. 최고 차수가 결정된 비선형 다항식에 대하여 각 항 별 중요도를 평가한 결과, 모사 실험 모형에 포함된 항의 중요 순위가 높은 것으로 평가되었다. 중요 순위에 따라 항을 추가하면서 모형을 구성한 후 AIC’s/BIC’s를 계산하였다. 오차 항의 크기는 중요 순위가 높은 항이 모형에 포함됨에 따라 급격히 줄다가 감소 폭이 점차 작아지는 한편, 패널티 항은 매개변수와 비례 관계이기 때문에 AIC’s/BIC’s 곡선은 결국 위로 오목한 형상이 되었다. 여러 AIC’s/BIC’s 방법 중 올바른 결과를 주었던 방법은 패널티가 크게 정의된 방법이었다. 패널티가 작게 정의된 방법은 불필요한 항까지 포함하는 모형을 최적의 것으로 선정하였다. 한편, 제안된 모형과 다른 구조를 갖는 모사 실험 모형의 경우에는 거동을 근사화하는 방향으로 모형이 구성되었다.
실례로서, 굴삭기용 차실 마운트를 제안된 모형으로 모형화하고, 이를 기존의 비선형 모형화 방법인 다항식 모형, NARMAX 모형, 인공신경망 모형, Bouc-Wen 모형과 비교 평가하였다. 다항식 모형은 이력 특성을 묘사할 수 없고, Bouc-Wen 모형은 구조 감쇠를 묘사하기 위한 것으로, 복소강성의 주파수 의존성을 충실히 묘사할 수 없었다. 반면, 제안된 모형은 차실 마운트가 갖는 복소강성의 주파수 의존성을 충실히 묘사하였다. 또한 제안된 모형은 선형 항과 비선형 항으로 분리해 구성하기 때문에 진폭과 상관 없이 힘 신호의 예측 정확도를 유지할 수 있는 반면, Bouc-Wen 모형 및 인공신경망 모형은 선형 항과 비선형 항으로 분리할 수 없어 대 진폭의 신호만으로 모형을 구성하기 때문에, 진폭과 무관하게 예측 정확도가 유지되는 모형을 구성할 수 없었다. 한편, NARMAX 모형에서는 미분 항을 후방 차분으로 근사화하기 때문에 시간 지연 오차를 유발하여, 복소강성에 대한 위상 지연 오차가 발생하였다. NARX 모형에 기초한 인공신경망 모형도 동일한 한계점을 보였다. 그러나 제안된 모형의 경우, 소 진폭에 대한 복소강성에 비해 대 진폭에 대한 복소강성에서 위상 오차가 크게 발생하였는데, 이는 대 진폭 조건에서 상대적으로 영향이 커지는 비선형 항이 이력 특성을 묘사할 수 없기 때문으로 사료되었다.
