The aim of this dissertation is to generalize existing channeled sampling theorems in the shift invariant spaces and to find its applications.
In the framework of the single channel sampling, single channel sampling theorems via Fourier duality, average sampling theorems, and recovery of missing samples for single channel oversampling are provided. Thanks to the Fourier duality, channeled sampling theorems are obtained from the corresponding theories in $L^2 [0,2\pi]$. On the other hand, in most physical circumstances, acquisition devices do not produce exact signal values at exact instances. A common substitute is to integrate the signal over small neighborhoods near the sampling instances. This sampling procedure is called the average sampling. We apply the average sampling to the single channel sampling so we find conditions under which for signal is completely determined by averages of its channeled samples, and can be reconstructed from these averages.
Sampling at the rate higher than the Nyquist rate is called an oversampling. The oversampling is widely used in a number of applications in image processing, especially in denoising and image inpainting. The oversampling is also used in the recovery of missing samples. When sampling at the Nyquist rate, even one missing sample prevents the reconstruction. However, when oversampling, samples are redundant in the sense that finitely many samples can be obtained from remaining samples by solving a system of linear equations. Based on this fact, we obtain conditions under which finitely many missing samples of an oversampled signal passing through single channel can be recovered.
In the framework of the multi-channel sampling, multi-channel sampling theorems via Fourier duality, asymmetric multi-channel sampling theorems, and recovery of missing samples for multi-channel oversampling are provided. Multi-channel sampling theorems are given, in which the sampling rates of all channels are the same. As a generalization of the multi-channel sampling theorems, we present the asymmetric multi-channel sampling theorems in which each channeled signal is sampled with a uniform but distinct rate. The asymmetric multi-channel sampling results in more efficient processing of signals because the sampling rates at various internal points can be kept as small as possible. Extending the result of single channel case, we also obtain conditions under which finitely many missing samples of an oversampled signal passing through multi-channel can be recovered.
본 학위 논문의 목적은 기존의 이동 불변 공간에서의 채널 샘플링 이론을 확장하고 그것의 응용 분야을 개발하는 것이다.
채널이 한 개인 경우에 대해서는 푸리에 쌍대성을 이용한 단일 채널 샘플링 정리와 평균 샘플링 정리, 그리고 잃어버린 샘플의 복원에 대해 다룬다. 푸리에 쌍대성을 통하여 $L^2 [0,2\pi]$의 이론으로부터 단일 채널 샘플링 정리를 얻는다. 한편, 대부분의 경우 인식 장치의 물리적인 한계 때문에 정해진 시간에 정확한 샘플값을 측정하기 힘들다. 그래서 보통 정해진 시간 근처의 샘플값들의 평균을 사용하는데 이러한 샘플링 과정을 평균 샘플링이라 한다. 평균 샘플링을 채널 샘플링에 적용하여 임의의 신호가 채널을 통과한 샘플들의 평균을 통해 표현될 수 있는 조건과 그 표현식을 찾는다.
Nyquist 비율 보다 높을 비율로 샘플을 뽑는 과정을 오버 샘플링이라고 한다. 오버 샘플링은 잡음 제거와 이미지 복원과 같은 영상처리 분야에 널리 사용된다. 잃어버린 샘플의 복원을 위해서도 오버 샘플링을 사용할 수 있다. Nyquist 비율로 샘플을 뽑은 경우에는 단 하나의 샘플값을 잃어버려도 신호의 복원이 불가능하다. 하지만 오버 샘플링의 경우에는 샘플들 사이에 연관성이 생겨서 유한 개의 샘플값을 잃어버려도 알고있는 나머지 샘플값들로부터 잃어버린 샘플값을 복원할 수 있다. 이러한 사실에 근거하여 오버 샘플링한 샘플들 중에서 유한 개의 샘플값을 잃어버렸을 경우, 이를 복원할 수 있는 조건을 얻는다.
채널이 여러 개인 경우에 대해서는 푸리에 쌍대성을 이용한 다중 채널 샘플링 정리와 비대칭 다중 채널 샘플링 정리, 그리고 잃어버린 샘플의 복원에 대해 다룬다. 모든 채널의 샘플링 비율이 동일한 다중 채널 샘플링 이론을 소개한다. 다중 채널 샘플링 정리의 일반화로서 각 채널의 샘플링 비율이 서로 다른 것을 허용하는 비대칭 다중 채널 샘플링 정리를 얻는다. 비대칭 다중 채널 샘플링을 통해 전체 샘플링 비율을 작게 유지할 수 있어 효과적인 신호 처리가 가능하다. 채널이 한 개인 경우를 확장하여 다중 채널 오버 샘플링을 위한 잃어버린 샘플의 복원 문제을 다룬다.
