Fluid-flexible body interaction problems were examined numerically by using the immersed boundary method. First, the inertial migration of an elastic capsule in a Poiseuille flow was investigated in a Reynolds number range of 1≤Re≤100. The capsule is modeled as a liquid drop being enclosed by a thin deformable membrane. Our method is based on an efficient Navier-Stokes solver that uses the fractional step method and a staggered Cartesian grid system. The fluid motion defined on an Eulerian grid and the structure motion defined on a moving Lagrangian grid are independently solved, and their interaction is formulated by using momentum forcing. The lateral migration velocity, slip velocity, and the deformation and inclination angle of the capsule depends on the lateral position, Reynolds number, capsule-to-channel size ratio, membrane stretching coefficient, and membrane bending coefficient. During the initial transient motion, the lateral migration velocity increased with increasing Re and size ratio, but decreased with increases in membrane stretching, bending coefficient and the lateral distance from the wall. On the other hand, the deformation of the capsule increased and the inclination angle became smaller as Re, membrane stretching, bending coefficient and the distance from the wall decreased. The initial behavior of the capsule was influenced by variation in the initial lateral position, but the equilibrium position of the capsule was not affected by such variation. The balance between the wall effect and the shear gradient effect determined the equilibrium position. As Re increased, the equilibrium position initially shifted closer to the wall and then moved towards the channel center. A peak in the equilibrium position was observed near Re=30 when the size ratio was 0.1, and the peak shifted to higher Re as the size ratio increased. Depending on the lateral migration velocity, the equilibrium position moved toward the centerline for larger size ratio, but moved toward the wall for larger membrane elasticity.
Next, the dynamic motions and lateral equilibrium positions of an elastic capsule in a Poiseuille flow were explored at moderate Reynolds number (10 Re 100) as a function of the initial lateral position, Re, shape aspect ratio, size ratio, membrane stretching coefficient and bending coefficient. The transition between tank-treading (TT) and swinging (SW) to tumbling (TU) motions was observed and the lateral equilibrium positions of the capsules varied according to the conditions. The initial behavior of the elastic capsule was influenced by variation in the initial lateral position, but the equilibrium position and dynamic motion of the capsule were not affected by such variation. The capsules had a stronger tendency toward TU motion at higher values of Re, membrane stretching and bending coefficient, whereas the capsules underwent TT or SW motion as the values of shape aspect ratio and size ratio increased. Under moderate Re Poiseuille flows, capsules tended to migrate across streamlines to a specific equilibrium position. The lateral equilibrium position shifted toward the centerline at larger size ratio and migrated toward the wall at larger aspect ratio, membrane stretching and bending coefficient. As Re increased, the equilibrium position first shifted toward the bottom wall, then toward the channel center. However, different equilibrium position trends were obtained around the SW??TU transition. The capsule undergoing TU motion tended to migrate downward toward the bottom wall more than the capsule undergoing SW motion, all other conditions being similar.
The mechanism of a three-dimensional model of a valveless pump was also analyzed by simulating it as a thin-walled elastic tube connected at either end to a rigid tube compressed by a pincher. The governing equation for the motion of the elastic tube is derived by using the variational derivative of the deformation energy. A net flow is generated inside the valveless pump through the periodic pinching of the elastic tube at a position that is asymmetric with respect to its ends. Two valveless pumps are chosen, a single valveless pump and a double valveless pump. For the single valveless pump, the direction and magnitude of the average flow rate sensitively depend on the pinching frequency and the pinching position. The average flow rate has a nonlinear relationship with the pinching frequency and position. As the pinching position moves toward the center of the elastic tube, the magnitude of the average flow rate gradually decreases. For the double valveless pump, the average flow rate is influenced by the pinching frequency and the phase difference between two pinching frequencies. The average flow rate has a nonlinear relation with the pinching frequency and phase difference. As the pinching position moves toward the center of the elastic tube, the magnitude of the average flow rate decreases. The non-zero average flows are obtained at xpc=0 that the non-zero phase difference makes asymmetric wave dynamics in the double valveless pump, in contrast to the single valveless pump.
유체-유연체 상호작용 문제를 가상경계방법을 이용하여 수치적으로 조사하였다. 먼저, 푸아죄유 유동에서 유연한 캡슐의 관성이동을 1≤Re≤100 에 해당하는 레이놀즈 수 범위에서 조사하였다. 캡슐은 얇은 모양변화가 가능한 막이 액체 물방울을 둘러싸고 있는 물체로 모델하였다. 오일러리안 격자계로 정의되는 유체 영역은 분리 단계법과 엇갈림 격자를 적용한 나비아-스톡스 방정식 해법으로 계산하였으며, 라그란지안 격자계로 정의되는 캡슐의 움직임은 고체 지배방정식을 이용하여 계산하였다. 유체와 캡슐영역은 각각 독립적으로 계산되며, 두 영역의 상호작용은 강제외력 힘을 이용하여 계산하였다. 캡슐의 측면 이동 속도, 미끄러짐 속도, 모양 변화 및 기울어짐 각도는 측면 위치, 레이놀즈 수, 캡슐과 채널 크기 비, 막의 stretching 계수와 bending 계수의 영향을 받는다. 초기의 움직임에서, 측면 이동 속도는 레이놀즈 수, 크기 비가 증가할수록 커지며, 캡슐 막의 stretching, bending 계수와 벽과의 측면 거리가 증가할수록 속도가 감소하였다. 반면, 레이놀즈 수, 캡슐 막의 stretching, bending 계수와 벽과의 측면 거리가 감소할수록 캡슐의 변형은 커지고 기울어짐 각도는 작아졌다. 캡슐의 초기 움직임은 초기 측면위치에 영향을 받지만, 캡슐의 평형위치는 초기 위치 변화의 영향을 받지 않았다. 캡슐의 평형위치는 벽 영향과 shear gradient 영향 사이의 균형에 의해 결정된다. 레이놀즈 수가 증가할수록 평형위치는 초기에는 벽 쪽으로 이동하다가 채널 중심 쪽으로 이동하였다. 크기비가 0.1인 경우 Re=30 근처에서 평형위치의 최대 값이 생겼으며, 이 최대값은 크기 비가 증가할수록 높은 레이놀즈 수 쪽으로 이동하였다. 측면 이동 속도와 마찬가지로, 캡슐의 평형위치는 크기비가 증가할수록 채널 중심 쪽에서 형성되며, 캡슐 막의 탄성 계수가 증가할수록 벽 쪽에서 형성되었다.
다음으로, 유연한 캡슐의 dynamic motion을 캡슐의 초기 위치와 모양 장축 단축 비, 크기 비, 막의 탄성 계수를 변화하면서 살펴보았다. 위에 언급한 조건들의 변화에 따라 캡슐이 tank-treading (TT), swinging (SW), tumbling (TU) 움직임을 갖게 되며, 다양한 움직임에 따라 캡슐의 평형위치도 변화하였다. 초기 위치는 캡슐의 평형위치와 dynamic motion에 영향을 주지 않았다. 레이놀즈 수와 캡슐의 탄성도가 증가할수록 TU 움직임을 갖는 경향이 강해졌으며, 모양 장축 단축 비와 크기비가 증가할수록 캡슐의 TT 혹은 SW 움직임일 갖게 되었다. 레이놀즈 수가 적당히 큰 푸아죄유 유동에서는 캡슐은 일정한 평형위치 쪽으로 이동하게 되는데, 이러한 평형위치는 캡슐과 채널 크기 비가 증가할수록 채널 중심 쪽에 형성되며, 모양 장축 단축 비, 캡슐 막의 탄성도가 증가할수록 벽 쪽에 형성되었다. 레이놀즈수가 증가할수록 평형위치는 처음에는 벽 쪽으로 이동하다가 그 이후 채널 중심 쪽에서 형성되었다. 하지만 SW-TU 과도기 주변에서는 다른 경향을 보였다. 이는 TU 움직임을 갖는 캡슐이 SW움직임을 갖는 캡슐보다 더 벽 쪽으로 평형위치를 형성하면서 이동하기 때문이다.
이외에도 3차원 valveless 펌프 모델의 메커니즘을 분석하였다. Valveless 펌프는 양 옆의 단단한 튜브가 연결된 유연한 튜브와 이를 압축시키는 pinche로 구성된다. 유연한 튜브의 움직임을 위한 지배방정식은 변형 예너지의 variational derivative를 이용하여 유도하였으며, 유연한 튜브를 양 끝을 기준으로 비대칭적인 위치에서 주기적으로 압축시켜 Valveless 펌프의 유동을 발생시켰다. Single valveless 펌프와 double valveless 펌프 두 가자 펌프를 계산하였다. Single valveless 펌프의 경우 평균 유량의 방향과 크기가 pinching 주파수와 pinching 위치에 영향을 받았으며, 비선형적인 관계를 가졌다. Pinching 위치가 유연한 튜브 중심 쪽으로 이동할수록, 평균 유량의 크기가 점차적으로 감소하였다. Double valveless 펌프의 경우, 평균 유량은 pinching 주파수, 두 개의 pinching 사이의 위상차와 복잡한 비선형 관계를 가졌으며, pinching 위치가 유연한 튜브의 중심 쪽으로 이동할수록, 평균 유량의 크기가 감소하였다. Single valveless 펌프와 달리, pinching 위치가 튜브 중심인 경우에도 두 pincher 사이의 위상차가 있을 경우, 비대칭적인 wave dynamics로 인하여 0이 아닌 평균 유량이 생성되었다.
