In this thesis, We mainly discuss the finiteness of ideal class group for a number field and a function field of transcendence degree 1.
The ideal class group is defined on Dedekind domains which is a measure of how close the Dedekind domain is to being a principal ideal domain. In a number field, the ideal class group is finite by using the embeddings which form specific absolute values on this number field. Our main goal in this thesis is to prove that the finiteness of ideal class group of a function field which is a finite extension of the one-variable rational function field with finite scalar field.
To accomplish this goal, we review the proof of number fields case and construct the similar argument for function field case. The absolute values associated to the $\mathfrak{p}$-adic valuations are main tools. We give them the role which behaves like the absolute values associated to the embeddings as in the number field case.
The proof of our main goal gives some clue for the cardinality of the ideal class group(the class number) for a function field. By using this, we compute the class number for some function field.
본 논문에서는 아이디얼 유군의 유한성에 대해서 고찰하였다. 아이디얼 유군이란 데데킨트 정역 위에서 정의되는, 주어진 데데킨트 정역이 어느정도나 주 아이디얼 정역과 비슷한지 알아내는 척도이다. 여러 아이디얼 유군 중에서 수체위에서는 아이디얼 유군이 유한군이라는 것은 수체의 체준동형사상로부터 유도되는 절대값 함수들을 사용함으로써 증명할 수 있다. 본 논문의 주 목표는 유한체를 스칼라 체로 하는 일변수 유리함수체에 대한 유한 확대인 함수체에서 아이디얼 유군이 유한군임을 보이는 것이다.
이 목표를 달성하기 위해서 먼저 수체의 경우에서의 증명을 복습해보고 이 증명을 토대로 함수체 경우에서의 증명을 만들어 간다. 이때 p진 부치로 만들어지는 절대값들은 중요한 도구로써 사용된다. 본 논문에서는 수체 경우에서의 절대값들이 하는 역할이 이 도구를 통해서 함수체에서도 적용될 수 있음을 보일 것이다.
또한 아이디얼 유군의 유한성에 대한 본 논문에서의 증명은 아이디얼 유군의 크기를 가늠할 수 있는 단서를 제공하는데 이를 이용하여 주어진 예제에 대해서 아이디얼 유군의 크기를 계산하고자 한다.
