The purpose of this thesis is to investigate relation between moments of initial data and long-time asymptotics of diffusion equations. More precisely, $L^1$-intermediate asymptotics for nonlinear diffusion equations, approximate solutions to the viscous Burgers equation and long-time asymptotics of the zero level set for the heat equation will be discussed.
In Chapter 2, Newtonian potential is introduced in a relative sense for radial functions. This makes us possible to treat the potential theory for a larger class of functions in a unified manner for all dimensions $d\ge1$. For example, Newton`s theorem can be restated in a simpler form without concerning dimensions. The relative potential is then used to obtain the $L^1$-convergence order $O(t^{-1})$ as $t\to\infty$ for radially symmetric solutions to the porous medium and fast diffusion equations. Similar technique is also applied to radial solutions of the $p$-Laplacian equations to obtain the same convergence order.
In Chapter 3, two kinds of approximate solutions to the heat equation are discussed. They will be used in the following chapters.
In Chapter 4, relation between the moments and the asymptotic behavior of solutions to the viscous Burgers equation is investigated. The Burgers equation is a nonlinear problem having a special property; it can be transformed to a linear problem via the Cole-Hopf transformation. Our asymptotic analysis depends on the transformation. In the chapter an asymptotic approximate solution is constructed, which is given by the inverse Cole-Hopf transformation of a summation of $n$ heat kernels. The $k$-th order moments of exact solution and the approximate solution are contracting with order $O\big((\sqrt{t})^{k-2n-1+1/p})$ in $L^p$-norm as $t\to\infty$. This asymptotics indicates that the convergence order is increased by a similarity scale whenever the order of controlled moments is increased by one. The theoretical asymptotic convergence orders are tested numerically.
In Chapter 5, we consider the zero set $Z(t) := \{ \x \in \R^d : u(\x,t) = 0 \}$ of a solution $u$ to the heat equation in $\R^d$. Under vanishing conditions on moments of the initial data, we will prove the set $Z(t)$ in a ball of radius $C\sqrt{t}$ for some $C>0$ converges to a specific graph as $t\to\infty$ when the set is divided by $\sqrt{t}$. The graph is zeros of a linear combination of the Hermite polynomials and the coefficients of the linear combination depends on moments of the initial data. Also the graphs to which the zero set $Z(t)$ converges will be classified in some cases.
본 학위 논문에서는 초기치의 모멘트와 확산 방정식에서의 오랜 시간 후 점근 행동 간의 상관 관계를 다룬다. 구체적으로는 비선형 방정식에서의 $L^1$-중간 점근 행동, 점성 버거스 방정식의 근사해, 열 방정식에서의 영(zero) 등위 집합의 오랜 시간 후 점근 행동을 논의한다.
2장에서는 상대적 관점에서 방사형(radial) 해의 뉴턴 퍼텐셜을 소개한다. 이를 통해 차원에 관계 없이 통일된 방법으로 더 많은 함수들에 퍼텐셜 이론을 적용할 수 있다. 이것의 한 예로 차원에 대한 고려 없이 뉴턴 정리를 간단하게 다시 쓸 수 있음을 든다. 그 후 상대적 퍼텐셜을 이용해 다공성 매질 방정식과 빠른 확산 방정식에서 방사형 해의 $L^1$-수렴차수가 시간 $t$가 무한대로 갈 때 $O(t^{-1})$임을 보인다. 비슷한 방법으로 $p$-라플라스 방정식의 해에 대해서도 같은 수렴차수를 얻는다.
3장에서는 이어지는 장들에서 사용할 열 방정식의 근사해 두 종류를 소개한다.
4장에서는 초기치의 모멘트와 점성 버거스 방정식의 점근 행동 간의 상관 관계를 조사한다. 비선형 방정식인 버거스 방정식은 콜-호프 변환을 통해 선형 방정식으로 변환 가능한 특별한 성질을 지니고 있다. $n$개의 열핵(heat kernel)의 합을 역 콜-호프 변환하여 점근적 근사해를 만들고 원래 해와 근사해의 $k$차 모멘트가 시간 $t$가 무한대로 감에 따라 $O\big((\sqrt{t})^{k-2n-1+1/p})$의 수렴차수로 가까워짐을 보인다. 이것은 초기치의 모멘트를 하나 더 일치시킬 때마다 수렴차수가 닮음비례(similarity scale)만큼 좋아짐을 시사한다. 끝으로는 이론적 수렴차수를 수치적으로 확인한다.
5장에서는 전공간 $\R^d$에서 열 방정식의 해 $u$의 영 등위 집합 $Z(t) := \{ \x \in \R^d : u(\x,t) = 0 \}$을 고려한다. 초기치의 모멘트가 영이라는 가정하에 $C\sqrt{t}$의 공($C$는 임의의 양수) 안에서 집합 $Z(t)$가 특정한 그래프로 수렴함을 보인다. 그래프는 에르미트 다항식의 일차결합의 해집합과 같으며 일차결합의 계수는 초기치의 모멘트에 의존한다. 또한 몇몇 경우에 영 집합 $Z(t)$가 수렴하는 그래프를 분류한다.
