Factor maps between shift spaces are surjective maps which preserve symbolic dynamical structure. A factor map extends to a map from the set of the invariant measures on the domain onto that of the codomain. The purpose of this thesis is to study how invariant measures behave with respect to factor maps between shift spaces.
First, we study when sofic measures are Gibbs measures. Consider a fiber-mixing factor map $\pi: X \to Y$ between two mixing shifts of finite type. We prove that any fully supported Markov measure on $X$ projects to a Gibbs measure on $Y$ under the map $\pi$. In other words, all hidden Markov chains realized by $\pi$ are Gibbs measures. This generalizes a result of Chazottes and Ugalde by guaranteeing that the condition is invariant under conjugacy and symmetric under time reversal.
Second, we investigate properties of relatively maximal measures. Given an irreducible shift of finite type $X$, a shift space $Y$, a factor map $\pi : X \to Y$, and a fully supported invariant measure $\nu$ on $Y$, we show that any measure of maximal entropy among the measures in $\pi^{-1}(\nu)$ is fully supported. We also show that for any ergodic fully supported measure $ \nu $ on $ Y $, there is an ergodic fully supported measure in $\pi^{-1}(\nu)$.
Finally, we study ranks of semigroups which are related to degrees of factor maps. We prove that if one extends a transitive automaton by adding new states and letters, and there is a word sending all new states to old states, then the rank of the new automaton divides the original rank.
기호동역학계 사이의 인수함수와 측도에 관한 연구는 열역학과 에르고딕 이론을 기호동역학 안에서 전개함에 있어서 중요하게 다루어진다. 본 논문에서는 인수함수에 의한 불변 측도의 변화와 성질을 고찰한다.
먼저 sofic 측도와 마르코프 측도에 대해 연구한다. 인수함수가 마르코프 측도를 Gibbs 측도로 보내기 위한 충분조건을 규명한다. 이 충분조건은 Chazottes와 Ugalde에 의해 제시된 충분조건을 일반화하며 시간의 방향의 전환과 conjugacy에 대해 보존된다.
주어진 인수함수에 대해 같은 이미지를 가진 불변 측도들 중 엔트로피가 가장 큰 측도를 상대적 최대 측도라고 한다. 두 유한형천이공간 사이의 인수함수에 대해 상대적 최대 측도는 항상 fully supported 임을 밝힌다. 이를 통해 유한형천이공간 사이의 인수함수에 대해 에르고딕 fully supported 측도가 에르고딕 fully supported 측도를 역상으로 가짐을 증명한다. 이러한 결과들이 유한형천이공간 뿐만 아니라 그래프형 천이공간에 대해서도 성립함을 보인다.
마지막으로 세미그룹의 동기화에 관해 연구한다. 세미그룹의 랭크는 일관되게 확장된 세미그룹의 랭크의 배수임을 밝히며 오토마톤의 랭크는 확장된 오토마톤의 랭크의 배수임을 증명한다.
