We give formulae for the first homology of the n-braid group and the pure 2-braid group over an arbitrary finite graph in terms of graph theoretic invariants. As immediate consequences, a graph is planar if and only if the first homology of the n-braid group over the graph is torsion-free and the conjectures about the first homology of the pure 2-braid groups over graphs in [9] can be verified. As additional corollaries of these formulae, the n-braid group over a planar graph and the pure 2-braid group over any graph have a presentation whose relators are words of commutators, and the 2-braid group and the pure 2-braid group over a planar graph have a presentation whose relators are commutators, the latter of which was a conjecture in [8]. Finally we propose a conjecture that extends the conjecture in [8].
본 논문에서는 임의의 그래프에 대해 임의의 땋임수를 가지는 그래프 땋임군과 땋임수 2를 가지는 그래프 순땋임군의 1차 호몰로지 군과 이와 관련하여 땋임군의 특성에 대해 연구한 결과들이 정리 되어 있다.
먼저 그래프의 연결성 등 그래프의 불변량들을 이용하여 1차 호몰로지 군들을 정확하게 구할 수 있는 공식들을 구하였다. 이로부터 주어진 그래프가 평면 그래프라는 사실과 그 그 래프 땋임군의 1차 호몰로지 군이 꼬임이 없다는 것이 동치임을 알 수 있고, 순땋임군의 1차 호몰로지 군이 꼬임이 없다는 M.Farber와 E.Hanbury의 추측은 땋임수 2에 관하여 사실임을 알 수 있다. 또한 평면 그래프 위에서의 n-땋임군과 임의의 그래프 위에서의 n-땋임군은 모든 관계자가 교환자의 나열로 이루어져 있는 군 표현을 가진다. 마지막으로 평면그래프에 대해 땋임수가 2인 경우에는 그래프 땋임군과 그래프 순땋임군은 모든 관계자가 교환자인 군 표현을 가진다는 D.Farley와 L.Sabalka의 추측을 포함하는 사실을 증명하고 땋임수가 3 이상인 경우에 대해 확장한 추측을 제안하였다.
