In dynamic MRI, spatio-temporal resolution is a very important issue. Recently, compressed sensing approaches have gained recognition as a highly attractive imaging technique since they enable accelerated acquisition by breaking Nyquist sampling requirements. According to compressed sensing, by solving an $l_1$ minimization problem, accurate reconstruction can be achieved from severely under-sampled measurements when an unknown signal can be sparsely represented and the sampling basis is incoherent with respect to the modeling dictionary. These conditions can be well satisfied in dynamic MRI. First, by exploiting temporal redundancies of dynamic MRI, it can be easily sparsified. For example, when an object has periodic motion such as in the case of the heart, a Fourier transform along the temporal direction effectively sparsifies the corresponding dynamic images. For non-periodic dynamic images, we can use a Karhunen Loeve Transform (KLT), which is well known as an optimal energy compaction transform. Second, an incoherent sampling basis can be constructed by arbitrarily choosing sampling patterns in k-t space such as random or radial sampling patterns. Based on this concept, we developed the k-t FOCUSS algorithm, which reconstructs aliasing-free dynamic MR images from down-sampled measurements in cartesian or radial trajectories.
More recently, researchers have been interested in solving an $l_p$ minimization problem for $0 \leq p < 1$ based on the observation that the number of required measurements for an exact sparse reconstruction is more greatly reduced than in solving an $l_1$ minimization. However, when $0 \leq p<1$, the problem is no longer a convex optimization, and thus a combinatorial number of local minima exist. To deal with this problem, we adopted an empirical Bayesian approach, so-called sparse Bayesian learning (SBL), in dynamic MRI. Theoretically, SBL achieves an $l_0$ minimization solution at the global minimum and filters out a large amount of the local minima appearing in solving direct $l_p$ minimization. We demonstrate its successful results in dynamic MRI and compare them with those of k-t FOCUSS.
In addition, we found that by combining SENSE, a conventional parallel imaging method, with compressed sensing approaches, improved results can be obtained. More specifically, by incorporating multiple channel measurements and coil sensitivity maps in a problem, we can increase the number of measurements while retaining the number of unknown pixels and non-zero elements. This is clearly an advantageous form in a compressed sensing framework. Furthermore, by implementing the above algorithms on a graphic processing unit (GPU), reconstruction times can be significantly accelerated while achieving high image quality.
Finally, we incorporated a motion estimation and compensation (ME/MC) technique into k-t FOCUSS and SBL to further sparsify the unknown images in addition to application of a temporal sparsifying transform. ME/MC was originally developed for video compression with the goal of greatly decorrelating temporal redundancies. We discussed the similarities and differences between dynamic MRI and video compression to devise a way to effectively apply ME/MC in dynamic MRI. Through extensive experiments, we observed that ME/MC significantly improves dynamic MRI.
동적자기공명영상에서 시, 공간 해상도를 동시에 향상시키는 것은 매우 중요한 문제이다. 최근 compressed sensing 을 이용하여, 기존의 Nyquist 샘플링 기법에서 필요로 했던 데이터의 수보다 더 적은 수의 데이터만으로 정확한 영상 복원이 가능하다는 점이 알려지면서, compressed sensing 에 기반한 동적자기공명영상 기법들이 큰 관심을 받고 있다. Compressed sensing 이론에 따르면, 복원하고자 하는 영상이 스파스하고, 샘플링 basis 가 incoherent 할 때, $l_1$ 최적화 문제를 풀음으로써, 매우 적은 수의 measurement 만으로 정확한 영상 복원이 가능하다. 이 조건들은 동적자기공명영상에서 잘 만족시킬 수 있다. 첫째, 동적자기공명영상의 시간방향의 redundancy 를 이용하여, 영상을 스파스하게 변환할 수 있다. 예를 들어, 심장과 같이 주기적인 움직임을 갖는 영상에 대해, 시간방향의 푸리에 변환으로 영상을 스파스하게 나타내는 것이 가능하다. 영상이 주기적인 움직임을 갖지 않을 경우, 효과적인 에너지 압축 변환으로 잘 알려진 Karhunen Loeve Transform (KLT) 을 사용할 수 있다. 둘째, k-t 공간에서 랜덤 이나 방사형 샘플링 패턴을 사용함으로써, incoherent 샘플링 조건을 만족시킬 수 있다. 이러한 사실에 기반하여, 우리는 카테시안과 방사형 궤적에서 다운 샘플링한 measurement 로 부터, 엘리어싱 문제가 없는 동적자기공명영상을 복원할 수 있는, k-t FOCUSS 알고리듬을 개발하였다.
최근, $p$ 가 0 과 1 사이일 때, $l_p$ 최적화 문제를 풀음으로써, $l_1$ 최적화를 풀 때보다 더 적은 수의 measurement 로부터 정확한 영상 복원이 가능하다는 사실이 밝혀지면서, $l_p$ 최적화 문제에 대한 관심이 많아지고 있다. 하지만 $p$ 가 0 과 1 사이일때, 이 문제는 더이상 convex 최적화 문제가 아니기 때문에, local minima 의 개수가 combinatorial 하게 늘어나게 된다. 이러한 문제를 해결하기 위해, 우리는 sparse Bayesian learning (SBL) 이라 불리는 empirical Bayesian 방법을 동적자기공명영상에 적용하였다. 이론적으로, SBL 은 global minimum 을 $l_0$ 최적화의 해에서 얻게 되고, 기존의 $l_p$ 최적화문제에서 존재하던 많은 수의 local minima 를 filtering 할 수 있다. 우리는 SBL 의 성공적인 동적자기공명영상 결과를 k-t FOCUSS 의 결과와 비교해 보였다.
더불어, 기존의 parallel 이미징 방법중 하나인 SENSE 를 compressed sensing 방법과 결합하여 사용함으로써, 더 좋은 결과를 얻을 수 있다는 것을 발견했다. 여러 채널에서 얻은 measurement 와 각 코일의 sensitivity map 을 문제에 포함시킴으로써, 복원하고자 하는 영상의 픽셀 수와 0 이 아닌 픽셀 수는 그대로 유지하면서, measurement 의 수를 증가시킬 수 있었다. 이것은 compressed sensing 에서 정확한 복원을 위해 요구하는 조건과도 일치하는 형태이다. 이러한 compressed sensing 기법들을 graphic processing unit (GPU) 에서 구현함으로써, 고해상도의 영상을 매우 빠른시간안에 얻을 수 있었다.
마지막으로, motion estimation/ compensation (ME/MC) 기법을 사용하여 동적자기공명영상을 스파스하게 나타냄으로써, k-t FOCUSS 와 SBL 를 사용하여, 더 향상된 결과를 얻을 수 있었다. ME/MC 는 원래 비디오 압축에서 시간방향의 redundancy 를 줄이기 위해 개발된 기법이었다. 동적자기공명영상과 비디오 압축의 유사점과 차이점을 분석함으로써, 동적자기공명영상에 ME/MC 기법을 효과적으로 적용할 수 있는 방법을 고안할 수 있었다. 다양한 실험을 통해, ME/MC 가 동적자기공명영상을 크게 향상시킬 수 있음을 확인하였다.
