This thesis consists of two parts. The first part is as follows. Let ($\It{M, w}$) be a 6-dimensional closed symplectic semifree $\It{S}^1$-manifold whose fixed point set is a disjoint union of surfaces. Suppose that there is a generalized moment map. We prove that the action is Hamiltonian if and only if $\It{M_red}$ is diffeomorphic to an $\It{S}^2$-bundle over some compact Riemann surface and the fixed point set is not empty. We also show that the number of fixed surfaces of genus > 0 is at most four if the action is Hamiltonian. Moreover, if the minimum and the maximum are 2-spheres, then there is at most one fixed surface of non-zero genus.
The second part is about the log-concavity properties on symplectic manifolds. we define a notion “(Strong)Log-concavity property” on symplectic manifolds and prove that for a given symplectic manifold $\It{M}$ satisfying the strong log-concavity property, the symplectic blow-ups and blow-downs along symplectic submanifolds of a small $\epsilon$-amount satisfy the log-concavity property. Moreover, we explain that these properties are closely related to the moduli space of symplectic structures.
이 학위논문은 두 부분으로 나눌 수 있다. 첫번째 부분은 ($\It{M, w}$)가 원의 작용을 갖고 있는 6차원 사교 다양체일 때, 이 작용이 해밀턴 작용이 되는지의 여부를 축소 공간(reduced space)의 불변량을 통하여 알 수 있었다. 특히, 주어진 작용이 준 자유적 해밀턴 작용이면서 원의 작용에 대한 고정 집합이 리만 곡면들로 이루어진 경우, 곡면의 갯수는 상한이 존재하지 않지만, 종수가 0이 아닌 리면 곡면의 개수는 4이하임을 증명할 수 있었다. 특히 해밀턴 함수에 대한 극집합이 구와 동형인 경우에는 종수가 0이 아닌 리만 곡면의 갯수는 최대 한개라는 사실을 증명할 수 있었다. 이 결과는 고정 집합이 고립된 집합일 때와 상반된 결과로서, 고립된 집합인 경우 에는 톨만-와이츠만의 정리에 따라 고정 집합의 갯수는 정확이 8개이지만, 고정집합이 고립된 점을 포함하지 않는 집합이라면 고정집합의 연결 성분의 갯수의 상한은 존재하지 않는다는 것이다. 하지만 종수가 0이 아닌 리만 곡면의 갯수의 상한이 존재함으로서, 준자유 원의 작용에 대하여 고정 집합의 견고성을 알 수 있다.
이 논문의 두번째 부분은 사교다양체 상의 log-concavity 성질에 대한 연구이다. 여기서 log-concavity 성질이라는 것은 사교다양체 ($\It{M, w}$)이 임의의 해밀턴 원의 작용을 갖는 공간의 축소 공간이 될 때, 그 축소 공간의 열린 근방에서 Duistermaat-Heckman 함수가 log-concave가 되는 것을 말하고, strong log-concavity 성질은 모든 사교구조에 대하여 log-concavity 성질을 만족하는 것을 말한다. 이 논문에서는 4차원 사교다양체의 strong log-concavity 성질은 b+2 에 의해 완전히 결정됨을 증명하고, 일반적인 차원에 대하여 strong log-concavity 성질을 만족하는 사교 다양체에 대하여, 그것의 symplectic blow-up 와 blow-down은 log-concavity 성질을 보존한다는 사실을 증명하였다. 특히 마지막 단원에서는 위의 성질들과 사교구조들의 모듈라이 공간상의 Fricke-Habermann 텐서와 깊은 관계가 있음을 설명한다.
