It is known that the arc index of alternating knots is the minimal crossing number plus two and the arc index of nonalternating knots is less than or equal to the minimal crossing number. We study some cases when the arc index is strictly less than the minimal crossing number.
매듭이론은 3차원 공간에 있는 단일폐곡선인 매듭들을 분류하는 것을 주도니 연구과제로 하는 위상수학의 한 분야이다. 이 논문은 매듭의 불변량 중 하나인 호지수에 관한 연구이다. 교대매듭의 호지수는 엇갈림보다 정확히 2개 더 많고 비교대매듭의 호지수는 엇갈림보다 크지 않다라는 사실로부터, 특별히 비교대매듭의 호지수를 구하는 것에 집중하였다. 실제로 비교대 매듭에서는 비교대변들의 배열이 호지수의 상한을 결정하는데 기여함을 확인 할 수 있었다.
매듭의 호표현이란 책의 한 장에 하나의 단일곡선이 책의 묶음 위의 두 점을 잇도록 그려진 것을 말하는데 이것을 묶음이 한 점으로 보이도록 위에서 내려다 볼 때 나타나는 그림을 우산의 살과 같은 모양이라고 해서 wheel diagram이라고 부르고, wheel diagram에서 가지들을 spoke라고 한다. 매듭 diagram으로부터 최소의 spoke를 가지는 wheel diagram을 만들기 위해서는 매듭 diagram의 spanning tree를 택하고 그 tree의 edge들을 차례로 하나씩 축소시키는 과정이 필요한데, 이 과정에서 tree가 bad edge나 cutting arc를 가지지 않도록 eges의 순서를 잘 정해야 하는것이 핵심 부분이 된다. 본 연구에서는 특별한 패턴과 조건을 가지는 매듭들이 호지수의 더 좋은 상한을 가짐을 증명하였고, 그 결과로 엇갈림 13을 가지는 매듭들 중 342개의 매듭들이 호지수를 12로 가짐을 Cromwell diagram으로 확인하였다.
일반적으로 매듭의 호지수를 구하는 것은 어려운 문제이나, 본 연구의 결과로 매듭 diagram에서 spoke를 최소로 가지는 spanning tree를 찾을 수 있다면, 매듭 diagram 만을 관찰하여 호지수의 좋은 상한을 구할수 있게 되는 것이므로, 아직 결정되지 않은 비교대매듭의 호지수를 찾는데 아주 큰 성과를 줄 것으로 기대된다.
