In this thesis, we study the degree complexity of an integral curve in $\mathbb{p^{3}}$ and a smooth surface in $\mathbb{p^{4}}$ with respect to the lexicographic order. Let $\It{I}$ be the defining ideal of an integral curve in $\mathbb{p^{3}}$ of degree d and arithmetic genus $\rho_{a}}. If we fix a term order as the lexicographic order. Then the degree complexity of $\It{I}$ in generic coordinates is $1+(\binom{d-1}{2})-\rho_{a}}$ with exception of two cases. Additionally if $S \subset\p^{4}$ is smooth surface cut out by quadric and $\It{I_S}$ is the defining ideal of $\It{S}$ then the degree complexity of $I_S$ in generic coordinates $\It{M(I_{S})}$ is $1+\binom{d_{1}-1}{2}-\rho_{a}(Y_{1})$, where $d_{1}=\deg(Y_{1}(S))=\binom{d-1}{2}-\rho_{a}(S \cap H)$ with exception of three cases. If $\It{S}$ is a rational normal scroll then $\It{M(I_{S})=3}$, if $\It{S}$ is a complete intersection of (2,2)-type then $\It{M(I_{S})=4}$, and if $\It{S}$ is a Castelnuovo surface then $\It{M(I_{S})=5}$.
그레브너 기저는 계산대수기하학에서 가장 중요한 기초가 되고 있고, 그레브너 기저의 계산은 Buchberger 알고리듬에 의해 계산방법이 잘알려져 있다. 그러나 많은 경우에 그레브너기저의 계산이 불가능하다는것을 알 수 있다. 이 계산의 어려움을 Complexity 라고 하고 우리는 이것을 measure하려고 한다. 우리는 이복잡도를 주어진 ideal의 generic initial ideal의 generator들의 maximal degree로 정의 한다. 또한 그레브너기저의 복잡도에는 term order가 많은 영향을 주고 있다. 그래서 가장 대표적인 term order인 degree lexicographic order 와 degree reverse lexicographic order에 대한 복잡도의 변화에 대해서 연구해본다. $\It{m(I)}$를 degree reverse lexicographic order에 대한 복잡도로 정의 하면 $\It{m(I)}$에 대해서는 많은 결과 들이 있다. 잘 알려진 결과는 $\It{m(I)=reg(I)}$ 이다. 즉 정칙성을 이해하는 것과 $\It{m(I)}$를 이해하는 것이 동치라는 것을 알 수 있다. 반면에 degree lexicographic order에 대한 복잡도, $\It{M_{Lex}(I)}$로 표기, 에 대해서는 알려진 결과가 거의 없다.
[2]에서 smooth curve에 대한 정확한 $\It{M_{Lex}(I)}$을 구했다. 이 논문에서는 [2]의 결과를 $\mathbb{p^{3}}$에 있는 임의의 curve인 경우와 $\mathbb{p^{4}}$ 에 있는 smooth surface on quadric 로 확장을 한다.
