We give a sufficient condition for a graph to have a right-angled Artin group as its braid group for braid index $\geq5$. And prove that if a graph that is not $\It{T_3}$, contains $\It{T_0}$ but does not contain $\It{S_0}$ as topological subgraph, then graph braid group is not a right-angled Artin group for braid index $\geq 4$.
In chapter 1, we introduce the basic notions and well-known facts about the relationship between graph braid groups and right-angled Artin groups.
In chapter 2, we explain how to simplify configuration spaces using the discrete Morse theory. As applications, we obtain a presentation of the graph braid group for any graph containing neither $\It{T_0}$ nor $\It{S_0}$ as topological subgraph and prove that the graph braid group is a right-angled Artin group.
In chapter 3, we first prove that for a graph not containing $\It{S_0}$ as topological subgraph, the homology groups of graph braid groups are free abelian groups. And for low braid indices, we compute cohomology algebras of graph braid groups of graphs that are simple enough and prove that graph braid groups are not right-angled Artin groups. Thus, by using that graphs and a homomorphism of cohomology algebras of graph braid groups that is induced by the embedding of graphs, we prove that for a graph that is not $\It{T_3}$ containing $\It{T_0}$but not containing $\It{S_0}$ as topological subgraph, the graph braid group is not a right-angled Artin group for braid index $\geq 4$.
본 논문에서는 그래프가 $\It{S_0}$를 위상적인 부분그래프로 가지지 않는다는 것이 그래프 땋임군이 직각의 아틴군이 되는 충분조건이 됨을 증명하였다. 그리고, 그래프가 $\It{T_3}$가 아니면서, $\It{T_0}$를 위상적인 부분 그래프로 가지고 S0를 위상적인 부분 그래프로 가지지 않는다면 땋임지수 4 이상의 그래프 땋임군이 직각의 아틴군이 아님을 증명하였다.
1장에서는 이산 구성 공간, 그래프 땋임군과 직각의 아틴군의 개념을 소개하고, 그래프 땋임군과 직각의 아틴군 사이의 관계에 대해서 알려진 사실도 소개하였다.
2장에서는 순서없는 이산 구성 공간을 이산 모스 이론을 사용하여 어떻게 단순화하는지 설명하고 이를 이용해서, $\It{T_0}$와 $\It{S_0}$를 위상적인 부분 그래프로 가지지 않는 그래프에 대해서, 그래프 땋임군의 표현식을 구하였다. 이 표현식을 이용해서, 그래프가 $\It{T_0}$와 $\It{S_0}$를 위상적인 부분 그래프로 가지지 않는다면 그래프 땋임군이 직각의 아틴군이 됨을 증명하였다.
3장에서는 먼저, $\It{S_0}$를 포함하지 않는 그래프의 호몰로지군은 자유가환군이 됨을 증명하였다. 그리고 낮은 땋임 지수에 대해서, 간단한 단위그래프들의 그래프 땋임군의 코호몰로지대수를 직접 계산하여, 이 그래프들의 땋임군이 직각의 아틴군이 아님을 증명하였다. 또한, 직각의 아틴군이 아닌 단위그래프와 그래프 사이의 임베딩으로로부터 유도되는 코호몰로지대수사이의 준동형사상을 이용하여 $\It{T_3}$가 아니면서, $\It{T_0}$를 위상적인 부분 그래프로 가지고 $\It{S_0}$를 위상적인 부분 그래프로 가지지 않는 그래프의 땋임지수 4 이상의 그래프 땋임군이 직각의 아틴군이 아님을 증명하였다.
