Trimming technique is a powerful and efficacious way of endowing an arbitrary complex topology to CAD files created by using NURBS. In this work, spline FEM for trimmed CAD surfaces in linear and geometric nonlinear elasticity problem is presented. The main benefit of the proposed method is that no additional modeling for the analysis of the trimmed NURBS surfaces is necessary. As a pioneering attempt to deal with the trimmed surfaces in spline FEM, the information on the trimming curves and trimmed surfaces exported from CAD system is directly utilized for analysis. For this, a specific searching algorithm and an integration scheme of trimmed elements are introduced. For analyses, the construction of the stiffness matrix based on the spline basis function is presented. In the formulation, the information on the trimming curves is used not only for obtaining integration points but also for calculating the Jacobian. It is observed that the proposed method gives the theoretical convergence rate. Multiple-holes problems which are difficult to analyze with conventional spline FEM are easily treated with the proposed method.
Moreover, if the domain boundaries are described by trimming curves only, with the extension of the classical concepts of trimming curves, it is supposed that the proposed method has a lot of advantages over conventional methods.
First, any problems of arbitrary complex topology can be handled. The flexibility for describing complex domain is significantly improved, because the complicated boundaries are easily represented by NURBS curves. Circular or any degrees of polygonal shapes are manageable. It is shown that any complex multiply-connected NURBS domain can be described by using trimming curves only. Schemes for imposing essential and traction boundary conditions on trimming curves are presented. It has been demonstrated that with the presented schemes boundary conditions on trimming curves can be successfully treated.
Second, when proposed modeling concepts are applied to large deformation problems, the mesh distortion problem can be effectively avoided. The proposed strategy for treating large deformation problems is that the geometry update of analysis domain is performed on boundary trimming curves, not on DOFs in NURBS surface. At each iteration, the trimming curves are evolved so as to describe the deformed shapes. At the same time, the NURBS surfaces are reset. Then the NURBS surface plays a role with background meshes. Trimming curves which define the domain boundaries can freely move within the NURBS surface with complete independence on quadrilateral meshes. Consequently, deteriorated analysis results due to mesh distortion can be avoidable. For geometric nonlinear analysis, the update schemes of trimming curves and Cauchy stress are presented. With various numerical examples, it is shown that large deformation problems which are difficult to analyze by using FEM due to severe mesh distortion are successfully analyzed with present method.
Present method has various features that spline FEM have enjoyed. At the same time, present method also shares a lot of numerical and practical advantages of meshfree methods. Thus the proposed trimmed surface analysis can be one of candidates for new meshfree method based on spline FEM.
NURBS (Non Uniform Rational B-spline)는 기하학적 형상을 표현하기 위한 매개변수 형태의 표현방법으로, 복잡한 형상을 간편하게 정의할 수 있고 매개변수 변화만으로 다양한 형상을 표현할 수 있기 때문에 현재 CAD 분야에서 널리 사용되고 있다. CAE 분야의 보편적인 도구로 자리매김한 유한요소법은 기하학적 형상과 해의 공간을 다항식 형태로 표현한다. 이와 같이 CAD와 CAE는 서로 다른 수학적 표현식을 사용하기 때문에, CAD모델을 유한요소해석하기 위해서는 별도로 유한요소모델을 생성해야 하는 번거로운 작업이 요구된다. 불필요한 시간과 비용을 최소화하기 위한 노력의 일환으로 최근에 스플라인 유한요소법(spline finite element method)이 제안되었다. 스플라인 유한요소법에서는 CAD에서 형상을 표현할 때 사용되는 스플라인을 해석의 형상함수로 사용한다. 이와 같은 특성으로 인해 스플라인 유한요소법은 CAD와 CAE를 통합할 수 있는 새로운 수치해석 기법으로 현재 많은 연구자들로부터 각광을 받고 있다.
기존의 NURBS 기반 스플라인 유한요소법은 텐서곱 (tensor product) 형태를 근간으로 하기 때문에 이로 인해 몇 가지 제약을 수반한다. 첫 번째는 효율적인 국부세분화를 할 수 없다는 점이다. 이는 T-스플라인의 개념을 도입하면 상당 부분 해소가 될 수 있다. 둘 째는 해석 모델이 항상 텐서곱 형태의 사각형 패치로 구성되어야만 해석이 가능하다는 점이다. 기존 스플라인 유한요소법으로는 트림곡면과 트림곡선으로 구현된 CAD 모델을 직접 해석할 수 없기 때문에, 해석을 위해서는 사각형 형태의 패치 조합으로 표현되도록 CAD 모델링을 다시 수행하여야 한다. 이와 같은 일련의 과정들은 CAD 와 CAE 을 자동화하려는 스플라인 유한요소법의 본 취지와도 부합하지 않는다.
본 연구에서는 트림곡면으로 구성된 CAD 모델을 효과적으로 스플라인 유한요소해석 할 수 있는 방법을 제안하였다. 이를 트림곡면해석(Trimmed surface analysis)이라 명명하고, 이를 구현할 수 있는 방법을 제시하였다. 트림곡면해석 기법에서는 기존 스플라인 유한요소법과 마찬가지로 NURBS곡면의 제어점(control point)에서 DOF가 정의가 된다. 트림곡선의 제어점은 NURBS곡면의 제어점과 특별한 관계가 없기 때문에 트림요소를 검색하고 적분을 하기 위해서는 특별한 기법이 필요하다. 본 연구에서는 CAD에서 제공한 트림곡면과 트림곡선의 특성을 활용하여 이를 해결하였다. 트림요소 적분을 위해 트림요소 분할을 수행하였고, 한 면이 NURBS 곡선으로 이루어진 삼각형 셀을 적분할 수 있는 방법을 제안하였다. 다양한 수치 예제를 통해 제안된 트림요소 검색방법과 적분방법을 검증하였다. 기존 스플라인 유한요소법으로 해석하기 어려운, 내부에 여러 개의 홀(hole)이 있는 트림곡면을 효과적으로 해석함으로써 본 방법의 유용성을 검토하였다. 또한 국부세분화 예제를 통해 T-스플라인이 트림곡면해석 기법에 잘 작동함을 확인하였다.
트림곡선의 기본적인 개념을 좀 더 확장해서 NURBS곡면 위에 트림곡선만을 이용하여 해석 영역을 표현한다면 해석 및 모델링 관점에서 다양한 장점이 발생한다.
그 첫 번째로 임의의 복잡한 형상을 갖는 문제를 하나의 NURBS곡면만을 이용하여 스플라인 유한요소해석할 수 있다. 기존 스플라인 유한요소법으로 복잡한 형상을 해석하기 위해서는 다수의 NURBS곡면의 조합으로 모델링이 되어 있어야 한다. 그러나 제안한 모델링 기법을 이용하면 하나의 NURBS 곡면에 다수의 트림곡선만을 이용하여 편리하게 해석할 수 있다. 이를 위해 변위 및 하중 경계조건을 트림곡선에 직접 부과할 수 있는 경계조건 부과 방법을 제안하였다.
둘 째로 제안된 모델링 기법을 대변형 해석에 적용하면 요소 왜곡 문제(mesh distortion problem)를 효과적으로 제거할 수 있다. 본 연구에서는 기하비선형 해석을 통해 제안한 방법이 갖는 장점을 검토하였다. 일반적으로 유한요소법이나 기존 스플라인 유한요소법에서는 비선형 해석시, 절점이나 제어점에서 형상 갱신을 수행한다. 본 연구에서는 NURBS곡면의 제어점에서 형상 갱신을 수행하지 않고, 트림곡선을 직접 갱신함으로써 해석 영역을 진전시킨다. 해당 축차에서 트림곡면해석을 수행한 후, 해석 영역을 표현하는데 사용되는 트림곡선을 갱신시키고, NURBS곡면을 원위치시킨다. 이와 같은 일련의 과정을 반복하여 비선형 해석을 수행하면, 고정된 NURBS곡면에서 트림곡선만이 변형하는 효과를 가져온다. 즉, NURBS곡면이 배경 격자와 같은 역할을 수행한다. 사각형 요소의 특성에 전혀 구애받지 않고 해석 영역이 자유롭게 변형할 수 있기 때문에 요소 왜곡 문제가 발생하지 않는다. 다양한 수치 예제를 통해 제안한 방법의 유용성을 검토하였다.
본 방법에서 제안한 트림곡면해석 기법은 스플라인 유한요소법의 기본적인 특성을 갖고 있으면서 동시에 요소 왜곡 문제가 발생하지 않는 등, 무요소법이 갖는 다양한 장점과 특성을 보유하고 있다. 본 방법이 기존 무요소법과 비교했을 때 차별할 수 있는 장점으로는 형상 함수를 모호함 없이 구현할 수 있고, 복잡한 경계를 NURBS곡선으로 손쉽게 표현할 수 있는 점 등이 있다. 이와 같은 특성을 종합하면 제안한 방법은 스플라인을 기반으로 하는 새로운 형태의 무요소법이라고 할 수 있다.
