The LIBOR market model of Brace, Gatarek, and Musiela is widely used to price interest rate derivatives. Plain vanilla-type options are valuated analytically, but the other exotic options are usually valuated through simulation on this model. The LIBOR market model assumes that the volatility functions just depend on time; that is, it uses the volatility term structure. In this paper, we derive a spot LIBOR process based on the shifted LIBOR market model with volatility skews under the assumptions of deterministic and separable volatility functions. We then deduce approximately explicit solutions of interest rate path-dependent options, such as barrier option, lookback option, and Asian option by assuming a deterministic integrand in the Radon-Nikodym derivative. To test the accuracy of these solutions, we compare them with solutions from the Monte Carlo method.
LIBOR Market Model은 이자율 모델링과 이자율 옵션을 평가하는데 널리 쓰이는 모형이나, 경로 의존 이자율 옵션의 가격 결정식은 아직 존재하지 않아 대개 시뮬레이션 등의 수치해석적인 방법으로 평가한다. 또한 이 모델에서 변동성은 시간에 대한 함수로 표현될 수 있다.
본 논문은, 변동성이 시간에 대한 변화뿐만 아니라 Skewness까지 어느 정도 반영될 수 있는 Shifted LIBOR Market Model에서 Spot LIBOR Process를 유도하고 이로부터 배리어 옵션, 룩백 옵션, 아시안 옵션 등의 경로 의존 이자율 옵션의 가격식을 근사하게 도출하였다.
Spot LIBOR Process에서 옵션 가격식을 도출하기 위해 Deterministic Drift의 가정을 하였는데, 이는 Nunes [21]의 논문에서도 유사하게 적용되기도 했다. 이 가정으로 인해 옵션 가격식 도출 과정에서 생기는 Radon-Nikodym Derivative의 확률변수가 Lognormal 분포를 따르게 됨으로써 용이하게 식을 유도하게 되었다.
옵션 가격식의 결과에 대한 정확성은 Monte Carlo 시뮬레이션의 결과와 비교하여 확인하였는데, Error의 대부분은 Continuous Monitoring과 Discrete Monitoring의 차이에서 발생하였으며, 본 논문에서 사용한 Deterministic Drift의 가정으로부터 나오는 Error는 비교적 작은 것으로 나타났다.
본 논문은 Shifted LIBOR Market Model 에서 직접 경로 의존 옵션 가격식을 유도했다는 점에서 기여가 있으며, 이 방법은 그 외 다양한 옵션들의 가격식 도출에도 적용될 수 있다. 또한 변동성의 Skewness 뿐만 아니라 Smile 까지 고려한 확장된 LIBOR Market Model 하에서 위의 문제들을 연구해 볼 수도 있다.
