We study some stochastic models for interest rates. We classify models into spot rate models and forward rate models. We give some examples such as Rendleman-Bartter model, Vasicek model, Cox-Ingersoll-Ross(CIR) model, and Heath-Jarrow-Morton(HJM) model.
Also, we propose an interest rate model of the form
$dR(t) = (\alpha_{-1}R^{-1}(t) - \alpha_0- \alpha_2 R^2(t))dt + \sigma R^{\gamma}(t)dW(t),$
where $\alpha_{-1}, \alpha_0, \alpha_2, \sigma >0,\gamma>1$ and $W(t)$ is a Brownian motion. This model is a slight modification of the model proposed by Ait-Sahalia [1] in 1992. In this model, it is non-trivial to show that there exist some analytic properties such as the existence and the uniqueness of its solution, boundedness of moments, and convergence of a numerical solution. We verify that our new model satisfies these analytic properties by modifying the proofs in papers of Wu et al. [11] and Cheng [2] in 2008.
금융시장에서 중요한 기본 변수 중 하나인 이자율은 채권, 다양한 금리파생상품등에 활용이 되고 있다. 다양한 만기와 구조를 가진 채권의 가치를 산정하려면 이자율 모형에 대한 이해와 이에 의한 예측이 필요하다.
본 논문에서는 이자율 모형 중 몇몇 spot rate모형과 forward rate모형에 대한 특징을 알아보았다. 최근, 선형 Drift, Diffusion 항들이 시장의 이자율을 정확히 모델링하는 데 한계가 있다는 경험적 증거들이 나오고 있으며 이러한 배경을 바탕으로 우리는 1992년 Ait-Sahalia가 제안한 비선형 모형을 참고하여 단순화한 모형을 제안하였다. 또한 새롭게 제안한 모델의 해석적인 성질들(해의 존재성과 유일성, 수치적 해의 접근방법등)을 Ait-Sahalia 모형에 대한 Wu와 Cheng의 결과를 변형시켜 증명하였다. 그 결과, 우리가 제안한 모형은 Ait-Sahalia의 모형과 마찬가지로 평균회귀성(mean reverting property)을 가지고 있으며, 다양한 해석적 성질도 만족한다는 것을 밝혀내었다. 또한 해석적 성질을 밝힐 때 중요하게 사용되는 상한들을 직접 계산하였으며, 이 상한들과 확률미분방정식의 파라미터들의 관계를 알아내었다. 이와 같은 결과는 기존의 Ait-Sahalia의 결과에서는 복잡하여 분석이 불가능하다.
