A new local refinement scheme using hierarchical B-spline for spline FEM is proposed. NURBS (Non-Uniform Rational B-spline) has been widely used in CAD (Computer Aided Design). However, NURBS have some drawbacks in local refinement. In order to refine the region of interest in NURBS surfaces, entire rows and columns should be refined simultaneously due to their tensor-product property, which generates superfluous degrees of freedom(control points).
For efficient local refinement strategies in NURBS, there are T-splines and hierarchical B-splines. Although the local refinement scheme using hierarchical B-spline has been well developed in the field of computer graphics, it has not been established yet in the field of computational mechanics.
In present work, attempt to adopt the concept of hierarchical B-splines is performed for spline FEM. The regions of high gradients are overlapped by hierarchically-created local meshes. Knot vectors and control points in hierarchically-created local meshes are extracted from global meshes and they are refined using specific schemes. Generally knot vectors of local meshes are closed knot vectors. In order to guarantee the compatibility condition between global and local meshes, the proper continuity conditions across the interfaces shared by different levels of meshes should be imposed. The stiffness matrix of global meshes, local meshes and interaction between global and local meshes are constructed based on spline basis function. By illustrating numerical examples, the effectiveness of present method is demonstrated. Also, it is shown that the accuracy of solution can be improved with proposed local refinement scheme when compared to conventional spline FEM with relatively lower number of degrees of freedom.
스플라인 유한요소법을 위한 새로운 국부 세분화 방법을 제안한다. NURBS(Non-Uniform Rational B-spline)는 CAD(Computer Aided Design)에서 널리 쓰이고 있다. 하지만 NURBS는 국부 세분화가 불가능한 단점이 있다. NURBS 곡면에서 세분화를 수행하면 텐서 곱(tensor-product) 성질에 의해서 곡면 전체가 세분화 되며 이것은 불필요한 자유도(제어점) 개수를 생성되게 만든다.
NURBS에서 효율적인 국부 세분화 방법으로는 T-스플라인과 계층적 B-스플라인이 제안되어있다. 본 연구에서는 스플라인 유한요소법에서 계층적 B-스플라인을 이용해 국부 세분화를 수행하는 방법을 제안한다. 세분화가 필요한 영역에 전역 격자(Global mesh)로부터 계층적으로 생성된 국소 격자(Local mesh)를 중첩시켜 국부 세분화를 수행한다. 국소 격자의 매듭 벡터와 제어점은 전역 격자로부터 추출된 후 세분화 되는 과정을 거친다. 생성된 국소 격자에 적절한 적합성 조건을 부여 함으로써 전역 격자와 국소 격자의 연속성을 유지 한다. 수치적 예제를 통해 제안된 방법의 효율성을 확인한다. 해석 결과 제안된 방법은 스플라인 유한요소법에 비해 비교적 작은 자유도 개수로 효율적인 해석이 가능한 것을 보인다.
