We propose a new numerical method to solve an elliptic problem with jumps both in the solution and derivative along an interface. By considering a suitable function which has the same jumps as the solution, we transform the problem into the one without jumps. Then we apply the immersed finite element method in which we allow uniform meshes so that the interface may cut through elements to discretize the problem as introduced in [1,2,3]. Some convenient way of approximating the jumps of the solution by piecewise linear functions is suggested. Our method can also handle the case when the interface passes through grid points. We believe the treatment of such cases was first resolved in our paper. Numerical experiments for various problems show that second order convergence in $\It{L^2}$ and first order in $\It{H^1}$-norms. Moreover, the convergence order is very robust for all problems tested.
Next, we consider a stationary, constant viscosity, incompressible Stokes flow with singular forces along one or several interfaces. Assuming only the jumps of the pressure are present along the interface, we develop a new numerical scheme for such a problem. By constructing an approximate singular function and removing it, we can apply a standard finite element method to solve it. A main advantage of our scheme is that one can use a uniform grid. We observe optimal $\It{O(h)}$ order for the pressure and $\It{O(h^2)}$ order for the velocity.
서로 다른 특성을 가지고 있는 물질들을 하나의 방정식에서 풀때에 필연적으로 접촉면이 발생하게 된다. 이러한 접촉면에서 근의 모양이 급격하게 변하거나 심지어는 불연속적인 모양이 등장하게 된다. 지금까지 이러한 종류의 방정식을 풀기위하여 접촉면에 자유도를 할당하는 방식으로 기술들이 개발되어 왔다. 하지만 이같은 방식을 취할 경우 반드시 유한원소들을 매 시간마다 새롭게 잘라주어야 하는 불편함이 있고 컴퓨터의 연산속도에 지대한 영향을 주는 것이 사실이었다. 여기서 소개하는 내재 유한요소법은 매 시간마다 유한원소를 생성하는 불편함이 없이 항상 고정된 동일 모양을 유한원소를 사용할 수 있다는 강력한 장점을 가지고 있다. 하지만 초기에는 접촉면에서의 근이 연속성이 있고 플럭스 또한 연속이라고 가정하고 만들어진 방법이었을 뿐만 아니라 유한차분법을 기초로 개발되었기에 여러가지로 제약조건이 많았다.
새롭게 개발된 방법은 내재 유한요소법을 발전시킨 것으로 불연속적인 근을 다룰 수 있도록 개선한 것이며 유한요소법을 이용하기 때문에 좋은 행렬의 모양을 얻을 수가 있어 매우 빠른 솔버를 사용할 수 있다는 장점을 가진다. 우리는 이것을 DB(Discontinuous Bubble)라고 부르며 이 기술을 착안하여 스톡스유체에 적용하는 방법을 개발하였다. 스톡스유체의 첫번째 방정식에 다이버전스를 취하여 엘립틱방정식을 만들고 이를 DB를 이용해 풀거나 이를 변형한 추출기법을 이용해 풀고나서 다시 스톡스방정식에 대입한다. 이와같이 할 경우 압력에 대한 근을 구하는 과정에서 발생하는 접촉면에서 진동하는 문제를 해결할 수 있을 뿐 아니라 근을 구하는 속도를 현격하게 증가시킬 수가 있다.
현재는 이방법을 개선하는 연구가 진행중이며 접촉면에만 자유도를 추가하면서 최대각조건 및 최소각조건을 자연스럽게 만족하게 하는 수술기법을 연구하고 있다. 이렇게 되면 접촉면의 모양이 심하게 변하거나 불연속근의 변화가 심한 경우에도 좋은 결과를 준다는 사실을 엘립틱방정식에 적용하여 얻었으며 향후 이를 다양한 방정식에 적용할 생각이다.
