In Riemannian geometry, classification of manifolds with positive scalar curvature is important. In this paper, manifolds are classified by using a group action: (1) $\It{nonnegatively curved}$ 4-manifolds (i.e., complete Riemannian 4-manifolds with everywhere nonnegative sectional curvature) with a finite group action, (2) $\It{positively curved n}$-manifolds (i.e., complete Riemannian n-manifolds with everywhere positive sectional curvature) with $\It{symmetry rank^1}[\frac{n-3}{2}]$ and (3) positive quaternionic K$\ddot{a}hler 4$\It{m}$-manifolds (i.e., Rimannian manifolds whose holonomy groups are contained in $\ItSp({m})Sp(1)$, for $\It{m} \ge 2$ and that have positive scalar curvature) with sym-rank $\It{M})$ \ge \frac{m}{2}+1$. Each case has a common point theoretically. For example, in each case, fixed point sets of action will be addressed (that is, the same approach will be used for each area).
First, Case (1) will be addressed. Let $\It{M})$ be a closed, simply connected, nonnegatively curved 4-manifold. If $\It{M})$ admits $\It{S}^1$-action, $\It{M})$ is homeomorphic to $\It{S}^4$, $CP^2$, $\It{S}^2\times\It{S}^2$ and $CP^2# \plusmn CP^2$ (cf. [7]). In this paper, that will be extended. Assume that M admits an effective isometric $Z_m$ action for an odd integer $\It{m}\ge 41^8$ and for any $\It{g} \ne 1 \isin Z_m$-action (g) acts trivially on the homology of $\It{M}$. If ($\It{g}$) has at most one two-dimensional fixed point component, then it is first shown that $\It{M})$ is homeomorphic to
$\It{S}^4$, $\It{#}^l_{i=1}\It{S}^2 \times \It{S}^2$, $\It{l}=1,2, or $\It{#}^k_{j=1}\pm \bf{CP}^2, $\It{k}=1,2,3,4,5.
Moreover, the following is conjectured: if the fixed point set contains two 2-dimensional connected components, then $\It{M})$ is diffeomorphic to an $S^2$-bundle over $S^2$.
Until now, High dimensional manifolds with positive sectional curvature (i.e., Case (2)) can be investigated similar to 4-dimensional manifolds. Homeomorphism classification in a positively curved $\It{n}$-manifold with symmetry rank $[\frac{n-1}{2}]$ has been done for $\It{n}$=4 or $\It{n} \ge 8$ (cf. [33], [20]). Here, symmetry rank $[\frac{n-1}{2}]$ ($\It{resp}$. symmetry rank $[\frac{n+1}{2}]$) is referred to as $\It{almost maximal symmetry rank (resp. maximal symmetry rank).)}$ In 1994, Grove and Searl proved that $\It{M})$ has symrank $\le [\frac{n+1}{2}]$, and equality implies that $\It{M})$ is diffeomorphic to a sphere or a complex projective space (cf. [27]), which is called $\It{the maximal symmetry rank theorem}$. Recently, Wilking put forwards the `almost $\frac{1}{2}$-maximal rank theorem’, stating that if $\It{M}$ has sym-rank($\It{M}$) $\ge \frac{n}{4}+ 1$ for $n\ge 10$, then $\It{M}$ is homeomorphic to a sphere or a quaternionic projective space or homotopically equivalent to a complex projective space (cf. [56]). Furthermore, the above two results led to $\It{the almost maximal rank theorem}$ of Fang and Rong (cf. Theorem 2.11).
In this paper, it is reported that if $\It{M}$ has symmetry rank $[\frac{n-3}{2}]$, which is called by the maximal symmetry rank minus two, for $n \geq 15$ and Fix($T^{[\frac{n-3}{2}]},$\It{M}$)$ is two-dimensional, then $\It{M}$ is homeomorphic to a sphere or a complex projective space (cf. Theorem 1.4). As a consequence, our result gives a partial answer to the following conjecture: for $\It{n}\ge15$ the homotopy classification of Wilking is indeed the homeomorphism classification.
Manifolds whose sectional curvatures $\It{K_M}$ satisfy the following relation (cf. Berger`s theorem (Proposition 1.2 in [16])) will now be considered:
(1) $\It{K_M(X,Y)}+\It{K_M(X,IY)}+\It{K_M(X,JY)}+$\It{K_M(X,KY)}>0$,
Where $\It{I},\It{J}$ and $\It{K}$ are anticommuting almost complex structures. Let $\It{M}$ be a positive quaternionic K$\ddot{a}hler manifold of dimension 4$\It{m}$. Note that $\It{M}$ satisfies (1). In earlier papers, Fang and Kim (cf. [17], [36]) showed that if the symmetry rank is greater than or equal to $[\frac{m}{2}]+3$, then $\It{M}$ is isometric to $\bf{HP}^m$ or $\It{Gr_2(C^{m+2})}$. The goal of this paper is to give a more refined classification result for positive quaternioinc K$\ddot{a}hler manifolds whose fourth Betti number equals one. To be precise, in this paper it is shown that if the symmetry rank of $\It{M}$ with $\It{b_4(M)}$=1 is no less than $[\frac{m}{2}]+2$ for $\It{m} \ge 5$, then $\It{M}$ is isometric to $\bf{HP}^m$.
Furthermore, by applying a more delicate Frankel type argument to such manifolds, which are related to (1) (cf. Chapter 12), the lower bound of the symmetry rank can be improved by one for higher even-dimensional positive quaternionic K$\ddot{a}hler manifolds. Namely, it is shown in this paper that if the symmetry rank of $\It{M}$ with $\It{b_4(M)}$=1 is no less than $\frac{m}{2}+1$ for $m\ge 10$, then $\It{M}$ is isometric to $\bf{HP}^m$.
<3장~4장>
오일러 캐릭터리스틱이 7이하일 때, 도날슨과 프리드만은 오일러 캐릭터리스틱에 따라서 단순 연결인 4차원 다양체를 분류하였다. 따라서 다양체에 군 작용이 있을 때 오일러 캐릭터리스틱의 어퍼 바운드를 줄 수 있다면 다양체를 분류 할 수 있는 것이다.
먼저, 4차원 다양체가 음이 아닌 곡률을 가지고 있으면서 회전군이 작용할때 군의 차수가 61보다 크면 많아야 5개의 고립점을 가진다는 것을 보였다. 나아가, 회전 군이 다양체의 호몰로지에 단순하게 작용하고, 고정되는 2차원 부분 다양체가 하나 이하이고, 군의 오더가 $61^7$ 보다 같거나 크면 다양체의 오일러 캐릭터리스틱이 2이상 7이하 임을 보였다.
<5장~9장>
양의 부분 곡률을 갖는 n 차원 다양체가 있을 때 $[\frac{n-3}{2}]$ 차원 대칭군이 작용할 때 갖는 특성을 살펴 보았다. 먼저, 고정 되는 성분들이 모두 구나 복소 프로젝티브 공간으로 같았다. 또한 대칭군에 의한 다양체의 쿼션 공간의 위상을 알았다. 이러한 사실들을 이용해 고정 되는 성분들로 둘러 싸인 부분 다양체를 만들수 있었다. 그 부분 다양체가 n-2 차원을 갖고 콤플렉스 프로젝티브 공간과 위상동형이었다. 게다가 적어도 3-연결임을 보일수 있었다. 때문에 Sullivan 의 이론을 이용해서, $\It{T}^{[\frac{n-3}{2}]}$ 작용으로 고정되는 부분 다양체가 0-차원을 가지면, 다양체가 복소 프로젝티브 공간임을 보였다.
<10장~11장>
양의 곡률을 갖는 4n 차원 쿼터니오닉 캘러 다양체에 대해 살펴 보았다. 24 차원 양의 곡률을 갖는 쿼터니오닉 캘러 다양체에 네번째 베티 수가 1이고 대칭군의 차원 5이상이면서 4차원 대칭군을 갖는 16차원 이상의 부분 다양체가 있으면 원래 다양체는 쿼터니오닉 캘러 다양체임을 보였다. 그리고 귀납법을 사용 해서 $[\frac{n}{2}]}+2$ 차원 대칭군이 작용하고 네번째 베티 수가 1이면 다양체가 쿼터니오닉 프로젝티브 공간임을 보였다.
<12장~14장>
양의 곡률을 갖는 4n 차원 쿼터니오닉 캘러 다양체에 $k \ge 6$ 차원 대칭군이 작용하면 $\It{S}^1$에 의해서 고정되는 성분(fixed point component)은 최소한 4k 차원을 갖는다는 것을 보였다. 그리고 네번째 베티 수가 1이면서 대칭군의 차원이 $\frac{n}{2} +1$ 이상이면서 n 이 10 이상이면 다양체는 쿼터니오닉 프로젝티브 공간이 됨을 알았다.
