We are interested in the algebraic and geometric structures of inner projections, partial elimination ideals and geometric applications. By developing the graded mapping cone construction and using the induced multiplicative maps on some infinitely generated graded modules, we obtain some (algebraic and geometric) properties of inner projections. As a result, for a projective reduced scheme $\It{X}$ of codimension e in $\mathbb{P}^{n}$ satisfying property $N_{2,p}$, $p\ge1$, we show that the inner projection from any smooth point of $\It{X}$ satisfies at least property $N_{2,p-1}$. Further, we obtain the main theorem on `embedded linear syzygies` which is the natural projection-analogue of `restricting linear syzygies` in the linear section case ([13]). This uniform behavior looks unusual in a sense that linear syzygies of outer projections heavily depend on moving the center of projection in an ambient space ([10],[25],[28]). Moreover, this property has many interesting corollaries such as 'rigidity theorem' on property $N_{2,p}$, $e-1\le p \le e$ and the sharp lower bound $e \cdot p - \frac{p(p-1)}{2}$ of the number of quadrics vanishing on X satisfying property $N_{2,p},~ p \ge 1$. We also investigate the depth and Castelnuovo higher normality of inner projections which give useful information on the Betti diagram and the regularity conjecture due to Eisenbud-Goto and multisecants.
사영 공간에 매립된 스킴의 성질을 연구하는 방법 중에 그 다양체에 관한 아이디얼의 대수적인 성질을 연구하는 것이 대표적인 방법 중의 하나이다. 이 스킴을 정의하는 아이디얼의 대수적 연구를 위해 구체적으로 아이디얼의 시지지구조와 특별한 시지지구조의 형태를 가리키는 $N_{2,p}$ 성질을 살펴보았다. 특히 사영공간 상에 자연스러운 사상이고 고전적으로 중요한 스킴의 내부사영사상 하에서 이 시지지 구조가 어떻게 변하는 지 살펴보아 원래 스킴이 $N_{2,p}$ 성질을 만족할 때 내부사영에 의한 이미지는 적어도 $N_2,{p-1}$ 성질을 만족함을 보였고, 좀 더 일반적으로 맨 처음 $\It{p}$-1 번째까지는 이미지의 선형 시지지구조가 원래 스킴의 시지지구조에 일대일로 매립된다는 것을 보였다.
이 연구를 위한 가장 중요한 도구로 차수 붙은 모듈의 어떤 곱하기 사상에 대한 매핑콘을 건설했고, 또 Mark Green 교수에 의해 소개된 부분 소거 아이디얼 이론을 확장하여 사용하였다.
주된 응용으로는 일반적인 한 점을 중심으로 하는 사영에 의해 스킴을 정의하는 이차식 의 개수가 어떻게 변하는지 보이고, $N_{2,p}$ 성질을 만족하기 위한 최소의 이차 정의식의 개수 하한을 찾고, 산술적인 깊이도 내부사영 전후로 불변임을 보여 극단적인 경우와 그 다음 극단적인 경우의 $N_{2,p}$ 성질에 대해 사영다양체가 완고한 성질이 있음도 보였다.
또 다른 주제로 내부사영 전후의 Castelnuovo 노말리티가 어떻게 변화되는지 살펴 정칙성 가설에 대한 또 하나의 의미있는 접근을 제시하였다.
중심을 점이 아닌 스킴 내부의 직선으로 확장했을 때의 경우를 살피고 부분적인 결과를 얻고 몇 가지 흥미있는 예들과 자연스런 다음 질문들을 제기함으로써 본 논문을 마무리 하였다.
