In the first part of the thesis, we present a new numerical algorithm based on high precision computation to estimate the largest Lyapunov exponent $L_{\max}$ of a chaotic flow $F_t(x)$, $t \ge 0$, $x \isin \mathbb{R}^m$. Our method makes use of the divergence speed, which is the minimal time for two nearby trajectories to diverge beyond a given distance from each other. Take $x, \hat{x} \isin \mathbb{R}^m$ with $|| x-\hat{x}|| = 10^{-D}$ for a fixed integer $D\gg1$. The divergence speed $V(n)$ for $n\ge 1$ is defined to be the minimal time for two trajectories $\{F_t(x)}_{t\ge 0}$ and $\{F_t(\hat{x})}_{t\ge 0}$ starting from $x$ and $\hat{x}$, respectively, to diverge until they are away from each other with the distance of $10^{-D+n}$. With probability 1 the divergence speed does not depend on the direction of $x - \hat{x}$.
The key idea is to employ enough number of significant digits in order to ensure that the distance of $10^{-D}$ makes sense in a numerical scheme, which is a discretized version of the flow $F_t$. It is shown that $L_{\max}$ is approximated by $\It{n/V(n)}$ for sufficiently large $\It{n}$. The result can be used to investigate the cumulative effect of nonlinearity of dynamical systems, which is due to imprecise initial data. We apply the divergence speed $\It{n}$ to find $\It{L_{\max}}$ for chaotic flows $F_t$ arising from differential equations such as Lorenz and $R\ddot{o}umlssler$ equations.
The second part, we consider a forward limit set in $\mathbb{R}^m$ where a forward limit set is fractal arising from differential equation such as Lorenz and $R\ddot{o}umlssler$ equation. Let $\It{Y}$ be the forward limit set, which is a fractal set. Let $\It{X}$ be the $Poincar\acute{e}$ section of $\It{Y}$ by a $(m-1)$ dimensional plane $\It{H}$ transversal to $\It{Y}$, i.e., $\It{X=Y\cap H}$. For a $Poincar\acute{e}$ mapping $T:X\to X$ and $x\in X$, we define the $n$th metric version of the first return time on $\It{X}$ by $R_n(x) = \min{ k\ge 1:\vertT^{k} (x) - x \vert \lt 2^{-n}}$
Then we suggest a numerical conjecture about the relation the $\It{n}$th metric version of the first return time and Hausdorff dimension of a chaotic flow. If $\It{M}$ is a metric space, and $d\gt0$ is a real number, then the $\It{d}$ dimensional Hausdorff measure $\It{H_d(M)}$ is defined to be the infimum of all $\It{m} \gt 0$ such that for all $\It{r} \gt 0$, $\It{M}$ can be covered by countably many closed sets of diameter smaller than $\It{r}$ and the sum of the $\It{d}$th powers of these diameters is less than or equal to $\It{m}$.
Numerical evidence is presented for the conjecture that $(\log R_n )/n$ converges to the dimension of the $Poincar\acute{e}$section of the chaotic attractors. As a byproduct, we estimate the fractal dimension of chaotic attractors.
혼돈 현상은 구조의 복잡성(complexity)과 초기 조건에 대한 민감성(sensitivity)이라는 특성을 가지고 있다. Hausdorff 차원과 최대 Lyapunov 지수는 각각 혼돈 현상의 복잡성과 민감성에 대한 지표이다. 그래서 비선형 동역학의 연구에서는 Hausdorff 차원과 최대 Lyapunov 지수라는 지표들을 이용하여 혼돈 현상에 대해서 연구하는 것이 일반적이다.
혼돈 현상의 민감성은 소위 '나비 효과'로 알려져 있는 나비의 날개짓의 의한 대기의 미소한 변화가 시간의 흐름에 따라 증폭되어 토네이도 같이 극적인 상태를 야기할 수 있음을 의미한다. 나비의 날개짓이 나타내는 계의 초기조건에 대한 작은 차이가 일련의 사건을 거쳐 토네이도 같은 거시적인 현상을 일으킨다는 것이다. 유클리드 차원(dimension)의 일반적 개념을 추상화한 Hausdorff 차원은 혼돈 현상의 구조를 연구하는 도구로 사용될 수 있다. 이 논문에서는 이 두가지를 찾는 수치적 계산방법에 관한 연구를 하였다. 이런 수치적 계산들은 1000비트 이상의 유효숫자를 가지는 정밀한 계산을 바탕으로 이루어졌다.
Chapter 2에서는 발산속도를 근접한 두 점이 혼돈흐름을 따라 일정한 거리까지 멀어지는 시간이라고 정의하고 그 발산속도를 이용하여 혼돈 흐름의 최대 Lyapunov 지수를 찾는 계산 알고리즘을 제시하고 또한 혼돈흐름의 발산속도의 성질을 이용하여 발산속도와 최대 Lyapunov 지수의 관계를 설명하였다. 잘 알려진 혼돈끌개인 Lorenz 끌개와 $R\ddot{o}umlssler$ 끌개의 최대 Lyapunov 지수를 발산속도를 이용한 방법으로 구한 값과 기존 방법으로 구한 값을 비교하였다.
Chapter 3에서는 혼돈흐름에서 $Poincar\acute{e}$ 단면에서의 첫번째 회기시간을 정의하고 $Poincar\acute{e}$ 단면에서 첫번째 회기시간과 Hausdorff 차원과의 관계에 대한 conjecture를 뒷받침하는 계산실험을 하였다. 또한 첫번째 교차시간에 대한 정의를 하고 Hausdorff 차원과의 관계에 대한 계산실험을 하였다.
