While the option implied distribution obtained by the maximum entropy method is quite efficient, it has a drawback that the distribution may not exist in exotic options. Therefore we propose a modified option implied distribution and apply to binary options, European options and multi-asset options. Also we suggest a method that find the Lagrange multipliers sequentially without finding the Jacobian matrix.
Furthermore the maximum entropy method which is one of non-parametric methods is used to estimate the probability of default. From binary option prices as the constraints, we explicitly find it while Capuano(2008) suggests numerical computation from European call option prices.
일반적으로 옵션(Option)은 가장 대표적인 금융 파생상품으로서 기초자산의 가격, 만기일까지 남은 시간 그리고 행사가격에 따라 그 가격이 결정됩니다. 가장 기초적인 이항옵션은 정해진 만기일에 행사가격보다 높거나 낮게 될 경우에 정해진 금액을 받게 됩니다. 높을 경우가 콜옵션(Call option), 낮을 경우에 받게 되는 것은 풋옵션(Put option)이 됩니다. 실제 옵션시장에서 많이 쓰이는 바닐라 옵션(Vanilla option)인 유러피안 옵션(European option)과 아메리칸 옵션(American option)입니다. 이 둘의 차이점은 정해진 만기일에만 옵션을 행사할 수 있는 것이 유러피안이고 만기일 이전에 언제고 행사가 가능한 것이 아메리칸 옵션입니다. 따라서 항상 아메리칸 옵션의 가격이 유러피안 옵션의 가격보다 높습니다. 유러피안 콜옵션은 정해진 만기일에 기초자산의 가격이 행사가격보다 높으면 그 차이만큼의 금액을 받게 됩니다. 풋옵션은 그 반대가 됩니다.
최대 엔트로피 분포는 주어진 제약조건 안에서 확률밀도함수가 최대 엔트로피를 갖는 분포를 말합니다. 이 원리는 이 논문의 가장 기초가 되는 가장 중심적인 이론 토대입니다. 이는 항상 존재하지는 않지만 존재한다면 유일합니다. 옵션 가격을 제약조건으로 사용하여 확률밀도함수가 최대가 되는 경우를 찾아 이를 우리는 내재확률밀도함수(Implied probability density)라고 정의했습니다. 불행하게도 대부분의 옵션의 경우에 내재확률밀도함수가 존재하지 않습니다. 이에 우리는 준내재확률밀도함수(Quasi-Implied probability density)를 새롭게 정의하고 내재확률밀도함수가 존재하지 않는 경우 이를 대체해서 썼습니다.
실제로 공정한 옵션 가격은 기초자산 가격의 분포에 의해서 정해지게 됩니다. 불충분한 조건 아래에서 기초 자산의 확률 밀도 함수를 최대 엔트로피 원리에 의해 추정할 수가 있습니다. 이 문제는 엔트로피와 수익함수에 의해 정의된 선형범함수의 라그랑즈 승수를 찾는 것과 동치가 됩니다. Buchen과 Kelly는 관찰된 옵션 가격으로부터 복원된 최대 엔트로피 분포가 실제 기초자산 분포와 매우 유사하다는 것을 보였습니다. 이 논문 첫 부분에서는 이항 옵션과 유러피안 옵션 가격을 가지고 확률 밀도 함수를 유사한 방법을 통해 구해 보았습니다. 또한 수익함수가 두 개의 자산으로 이뤄지는 옵션의 경우에도 이를 계산해 보았습니다.
하나의 자산이나 크게는 하나의 기업의 부도확률(Probability of default)을 평가하는 것은 기업을 운영함에 있어서 매우 중요한 일입니다. 특히 신용파생상품의 경우 부도확률의 작의 차이가 가격 결정에 큰 변화를 줄 수 있습니다. 이 논문의 두번째 부분은 주어진 옵션 가격으로부터 확률밀도함수 뿐 아니라 부도확률를 추정하는 방법에 대해서 기술하였습니다. Capuano는 2008년 IMF Working Paper에 이 방법을 유로피안 옵션가격에 적용했습니다. 그에 반해 우리는 Capuano의 방법을 이항옵션에 적용했습니다.
