In this dissertation we introduce the copula-based models for the default dependence and efficient methods for portfolio credit derivatives pricing.
First of all, we propose an alternative method of finding the $\It{k}$th default time distribution in a portfolio with dependency. Analyzing order statistics of independent and identically distributed random variables, we explicitly derive probability density and cumulative distribution functions of the kth default time based on one factor copula model with three kinds of copulas. Moreover we consider the pricing of portfolio credit derivatives such as the $\It{k}$th to default swaps and $\It{m}$ out of $\It{n}$ default swaps, and derive the relation between prices of single-name CDS and all to default swap within our framework. In order to test efficiency and accuracy we compare the theoretical prediction with Monte Carlo simulation.
Secondly, we introduce a new importance sampling method for pricing basket default swaps based on exchangeable Archimedean copulas and nested Gumbel copulas. We establish more realistic dependence structure than the existing copula models for credit risks in the underlying portfolio, and propose an appropriate density for importance sampling by analyzing multivariate Archimedean copulas. To justify efficiency and accuracy of our proposed algorithms, we demonstrate several numerical examples compared with the crude Monte Carlo simulation, and show that our proposed estimators produce remarkably small variance with accurately expected values in pricing basket default swaps.
Finally, we propose the kth default time distributions as the semi-analytic and analytic forms based on one factor contagion model with Marshall-Olkin copulas for homogeneous underlying portfolios. In our model, the individual default intensity process are controlled by a systematic shock and an idiosyncratic shock, and also can jump influence by contagion effect. By using proposed distributions we compute premiums of portfolio credit derivatives and compare the estimated price to the existing results for accuracy and efficiency tests.
이 논문에서는 신용 위험의 상관구조 모형을 제시하고 다자산 신용 파생상품의 효율적 가격결정을 위하여 세가지 접근 방법을 제시하였다.
바스켓 부도 스왑의 한 종류인 $\It{k}$번째 부도 스왑의 프리미엄은 $\It{k}$번째로 부도가 발생하는 신용사건에만 의존한다. 기존의 방법을 이용하면, 기초자산 포트폴리오의 크기가 커짐에 따라 그리고 부도순위가 커짐에 따라 프리미엄을 계산하는데 걸리는 시간은 그에 비례하여 늘어나게 된다. 단일요인 코퓰라 모델을 기반으로 기초자산의 부도시점을 순서통계량으로 가정하므로서 $\It{k}$번째 부도시점 분포를 도출하였다. 이는 기초자산 포트폴리오의 크기나 부도 순위에 거의 의존하지 않으므로, 비교적 기초 자산의 갯수가 많은 신용상품의 계산의 경우 더욱 효율적이고, 다양한 코퓰라 함수에 적용 가능하다. 제시한 방법론을 이용하여 유도된 분포를 이용하면 k번째 부도 스왑 프리미엄은 semi-analytic 형태로 표현되며, 단일 자산 CDS와 $\It{n}$ 아웃 오브 $\It{n}$ 부도 스왑의 프리미엄 사이의 관계식을 도출하였다. 가정한 코퓰라의 종류에 따라 Gaussian 구적법 또는 몬테 카를로 적분법과 같은 수치적 기법을 선택하여야 하며, $\It{k}$번째 부도 스왑과의 프리미엄을 근사한 값과 몬테 카를로 적분 한 값을 비교하여 효율성을 입증하였다.
기초자산의 상관구조는 다변량 아르키메디안 코퓰라로 주어져있다고 가정 했을때 바스켓 부도 스왑의 가격 결정시 $\It{k}$번째 부도시점의 난수를 생성하기 위해 importance sampling 기법을 위한 효율적인 알고리듬을 제시하였다. 다변량 아르키메디안 코퓰라는 다양한 형태의 구조가 존재하는데, 특히 하위 계층의 아르키메디안 코퓰라를 또 다른 상위 코퓰라로 묶어 계층적 의존구조를 표현 할 수 있다. 이는 기초자산 포트폴리오가 산업섹터 또는 신용등급등과 같은 여러 개의 큰 그룹으로 구분이 되어있는 상관구조를 모형화 하기에 적합하다. 기존의 다변량 아르키메디안 코퓰라를 따르는 난수를 생성하는 알고리듬을 기반으로 $\It{k}$번째 부도시점이 만기 이전에 모두 발생하도록 만드는 importance sampling을 위한 새로운 분포를 제시하였다. 제시한 방법은 importance sampling을 하지 않았을 때 알고리듬과 비교해 복잡하지 않으면서도, 분산은 현저히 줄어들었음을 모의실험을 통해 입증하였다. 부도 순위가 커질수록, 그리고 기초자산 포트폴리오 크기가 커질수록 효율성은 증가한다.
감염 모형은 기초자산 포트폴리오에 속한 하나의 채권이 부도났을 경우 함께 속해있던 남아있는 신용자산들의 부도 위험은 동시에 증가하도록 구성되어 있다. 기존의 감염모형은 일단 하나의 부도사건이 일어난 후에 나머지 부도사건들이 영향을 받지만, 부도사건이 일어나지 않은 경우 기초자산 포트폴리오의 위험자산들은 독립적이라 가정한다. Marshall-Olkin 코퓰라는 치명적인 충격 모형에서 유도된 것으로 개별 자산의 부도 시점은 공통적인 충격과 개별적인 충격에 동시에 영향을 받는다. 기존의 감염모형에 기초자산 포트폴리오의 상관 구조로서 Marshall-Olkin 코퓰라를 도입하고, 감염효과를 조절하는 변수를 집어넣어 단일요인 감염모델을 새롭게 고안하였다. 제시한 상관 구조 모형을 기반으로 라플라스 변환을 이용해 $\It{k}$번째 부도시점 분포와 손실 분포를 해석적으로 유도하였으며, 바스켓 부도 스왑과 CDO 트렌치의 프리미엄을 계산하였다. 이를 수치적으로 구현하기 위하여 Stefest 알고리듬과 Gaussian-Laguerre 구적법을 이용하였으며, 효율성과 정확성도 함께 입증하기 위한 다양한 모의실험을 실행하였다.
