Controllability is a structural property that carries information useful for control. Traditional methods of testing controllability of a linear multivariable system involve checking whether the system is controllable or not, i.e., binary nature. It is, therefore, necessary to introduce measures such as degree of controllability (DOC) based on continuous rather than binary metric. The measures for DOC can be applied to evaluate how controllable a given system is, in a quantitative or qualitative manner. However, they didn’t consider the presence of persistent disturbances. Thus, there exist some limits to represent the degree of controllability for a system with the external disturbances. Naturally, study on measures for disturbance rejection has been followed.
Degree of controllability for disturbance rejection is of interest because disturbance rejection is often the main objective of process control. Some plants have better “built-in” disturbance rejection capabilities than others, that is, their controllability with respect to disturbance attenuation is better. Thus, it is necessary to show their capability for disturbance rejection quantitatively. Although it has been known for a long time that disturbance rejection is an important property of the plant, however, there has been a lack of systematic methodologies for quantifying the effect of disturbance. Several measures representing DOC for disturbance rejection have been suggested. However, they are still restrictive to apply to a general system due to some theoretical limitation.
The main topic of this paper is to present a new measure for degree of disturbance rejectability (DODR). We propose a quantitative measure representing degree of disturbance rejectability for linear time-invariant systems in stochastic way. The proposed approach relies on the controllability and disturbance sensitivity Grammians. Since closed-form solutions for the Grammians can be found, the method is not computationally intensive. This criterion is derived by defining the input signal energies required to make the final state to be zero under the presence of persistent disturbances.
The criterion is represented as a scalar value with the input signal energy, so that it can be used to compare the degree of disturbance rejectability between systems with different set-ups. In addition, the measure is derived in frequency and modal domain to reveal disturbance rejection capabilities in terms of frequency components and modes. Then, through the singular value decomposition, geometric features related with directions and gains of input/disturbance are investigated.
The proposed measure can be also applied to input selection problems in which the best input locations are selected to reject external disturbances effectively. Furthermore, its dual problem of “degree of state estimation” is discussed. Finally, through the numerical examples, the performance of the proposed DODR measure is verified.
가제어도란 제어에 유용한 정보를 가지는 구조적 특징이다. 선형 시불변 시스템에 대한 전통적인 가제어도 검사는 이분법적인 특성을 가진다. 즉 제어가능 하냐 그렇지 않냐만을 나타낸다. 따라서 시스템의 제어 능력을 연속적인 지표로 표현할 수 있는 가제어도(degree of controllability)에 관한 연구가 진행되어져 왔다. 하지만 기존의 가제어도 지표는 외란의 존재를 전혀 고려하지 않았다. E따라서 외란이 존재하는 시스템에 기존의 가제어도 지표를 적용할 경우, 잘못된 결과를 도출할 수 있다. 이러한 문제를 대처하기 위해 시스템의 외란 억제 능력을 정량적 혹은 정성적으로 표현하기 위한 가제어도 지표에 관한 연구가 진행되어져 왔다. 그리고 이를 외란 억제 능력이라 부르도록 하겠다.
외란 억제 능력은 최근에 많은 관심을 받고 있는 분야이다. 왜냐하면 외란 억제는 제어 프로세스에서 종종 주된 목적이 되기 때문이다. 어떤 시스템은 다른 시스템에 비해 보다 나은 “built in”된 외란 억제 능력을 가지고 있다. 그것은 외란 억제에 대한 가제어성이 보다 뛰어나다는 것을 의미한다. 우리는 이러한 능력을 정량적으로 표현하는 새로운 지표를 제시하고자 한다. 현재까지 여러 지표들이 제시되었음에도 불구하고 여전히 체계적인 외란 억제 능력 지표가 부족하다.
본 연구의 주된 주제는 외란 억제 능력을 나타내는 새로운 지표를 제시하는 것이다. 우리는 확률론적인 방법으로 선형 시불변 시스템의 외란 억제 능력을 정량적으로 표현할 수 있는 지표를 제시한다. 제안된 방법은 가제어성 그래미언과 외란 민감도 그래미언에 의해 구하여 진다. 그래미언에 대한 닫힌 해가 구해질 수 있기 때문에 많은 계산량을 필요로 하지 않는 장점이 있다. 제안된 지표는 지속적인 외란을 받는 환경에서 주어진 시스템의 상태 변수를 임의의 시간에서 영으로 보내기 위해 필요한 입력 에너지로 정의된다. 제안된 지표는 입력 에너지라는 스칼라 값의 물리량을 가지기 때문에 서로 다른 구성을 가지는 시스템에 적용하여 상대적인 외란 억제 능력을 비교하는 데에도 사용될 수 있다. 게다가 주파수 영역과 모달 영역에서 주파수 성분에 따른 혹은 관심 모드에 따른 외란 억제 능력을 표현하기 위해 유도될 것이다. 그리고 특이치 분해를 통하제안된 외란 억제 지표의 기하학적 의미를 살펴 볼 것이다.
이렇게 제안된 외란 억제 지표는 입력 선택 문제에도 적용 가능하다. 시스템에 작용하는 외란을 제안된 개수의 구동기로 제거하고자 할 때 가장 최적의 구동기 입력이 어디인지를 결정하기 위해 제안된 지표를 사용할 수 있다. 또한 쌍대성 문제를 다루겠다. 즉 측정 잡음이 존재할 경우, 시스템의 상태 변수 추정 능력이 어떤지를 정량적으로 표현할 수 있는 지표를 제시하겠다.
