The isogeometric analysis is implemented for boundary element method (BEM) for the first time, and two-dimensional potential and elastostatic problems with arbitrary shape and topology are formulated in detail. In conventional isogeometric analysis based on finite element method (FEM) and non-uniform rational B-splines (NURBS), several NURBS patches are needed to deal with the geometry in various topological shapes because the analysis domain, which is the parametric domain of NURBS, is composed of only rectangular grids. Since these NURBS patches should be connected together with seamless interfaces, additional efforts are required for analysis with complex shapes. To overcome this difficulty, the isogeometric analysis concept is applied to BEM. With the proposed method, a problem domain can be analyzed by closed NURBS curve(s), which constitutes the boundary of the domain, instead of NURBS surface for two-dimensional boundary value problems without geometric error.
In this research, B-splines, which are the special case of NURBS with uniform control weights, are adopted both for modeling of boundary curve(s) and for physical variables to solve the boundary integral equation (BIE) derived from Green’s second identity which transforms domain integrals into surface ones. The physical field is approximated by a linear combination of B-spline basis functions and their associated control variables defined at the control points.
In BEM, source point and field point should be defined for fundamental solutions to set a BIE. That is to say, for each source point, a boundary integration is performed over field points as variables. In this manner, a system of linear equations is constructed. Unlike the classical isoparametric BEM where boundary nodes are selected as source points, a new selection scheme of source points should be suggested in the proposed method because the control points are not interpolated by boundary curve(s). This scheme must satisfy the following requirements: (1) the number of source points chosen must be the same as that of control points in order for the equations to have a unique solution, and (2) source points must be chosen so that they can reflect the information of the geometry such as corner points. Thus one of the aims of this research is to propose the selection scheme of source points that satisfies these requirements.
As a field point approaches source point the fundamental solutions have singularity, which are characterized by logarithmic and strong singularity for two-dimensional case. For the numerical integration with such singularities, special treatments are needed. As for the numerical integration of logarithmic singular terms, a special logarithmic Gaussian quadrature scheme is used where a standard form of the integrand is necessary. With respect to the numerical integration of strongly singular terms, indirect calculation by using equipotential or rigid body assumption used in the usual BEM cannot be applicable in our method because B-spline basis function has compact support over several control points for a source parameter. Thus direct integrations are performed using the Cauchy Principal Value (CPV) integrals. Formulas for these singular numerical integrations are derived using B-spline basis functions as combination of a regular part and a singular part that can be calculated analytically.
The feasibility of this method are shown with several applications; Available analytical solutions are compared with those of our numerical method. It is observed that this method can solve the problems with complex geometric shapes in more efficient manner without geometric error.
경계요소법 기반 등기하해석법은, 다양한 위상과 형상의 지오메트리에 대한 물리 문제를 보다 효율적으로 해결하기 위하여 제안되었다. 유한요소법을 기반으로 하는 경우, NURBS의 파라미터 공간이 사각 그리드로만 표현되며 corner point interpolation 때문에 임의의 형상 또는 위상 표현이 불가능하다. 이를 해결하기 위해 trimmed NURBS와 NFEM 등의 적분법을 이용하여 경계를 따라 요소를 세분화하여 이를 경계에 적합시킨다. 본 연구에서 제안한 방법은 경계요소법의 장점인 문제 도메인의 차원을 한 단계 낮춤으로써 이러한 문제를 해결할 수 있다. 가령, 그린의 정리(Green’s theorem)을 이용하여 2차원 평면 문제를 1차원 곡선 문제를 변환할 수 있다. 본 연구를 통해 제안된 방법은 포텐셜 문제와 선형탄성 문제에 대해 적용되었으며, 이에 검증을 위해 몇가지 예제를 통하여 적용성과 우수성을 보였다. 향후 보다 다양한 물리 문제에 적용될 수 있을 것으로 예상한다.
본 연구에서 제안된 방법은, B-spline의 기저함수를 이용하여 경계를 모델링하고 물리량 또한 동일한 기저함수로 근사화하여 이를 그린의 정리로부터 유도된 경계적분방정식(boundary integral equation)을 풀어 해를 얻는 방법이다. 이 때 물리량은 제어점(control points)에서 정의되며, 이를 제어변수(control variables)라고 칭한다. 해석을 통하여 얻어진 제어변수 값들은 NURBS 기저함수를 이용하여 선형 결합(linear combination)함으로써 경계 상의 임의의 점에서 근사화 된 물리량을 얻을 수 있다.
경계 상의 물리량을 얻기 위해서는 제어점의 수 만큼 서로 다른 source point (또는 load point)들을 경계 상으로 위치시키고 각각의 source point에 대해 field point를 경계를 따라 적분함으로써 얻어진 연립 경계적분방정식을 풀어야 한다. 또한 내부의 물리량을 얻기 위해서는, 원하는 내부점을 source point로 정의하고 얻어진 경계해(boundary solution)를 이용하여 이 점에 대한 경계적분방정식을 풀어야 한다.
경계적분방정식을 세우기 위해서는 각각의 물리 문제에 해당하는 fundamental solution를 포함한 식을 적분해야 한다. Fundamental solution은 field point가 source point에 근접함에 따라 특이성(singularity)가 발생하기 때문에 이를 적분하기 위한 특별한 조치를 취해야 한다. 가령, 로그를 포함한 식은 로그 가우시안 적분법(logarithmic Gaussian integration scheme)을 이용하고, 1/r (r은 source point와 field point 간의 거리)을 포함한 수식의 적분은 등포텐셜(equipotential) 또는 강체(rigid body) 가정을 통해 간접적으로 계산할 수 있다. 그러나, 등기하 해석법의 경우, source point가 일반적으로 각 자유도의 위치와 일치하지 않기 때문에 source intensity를 직접 계산해야 한다.
BEM이 FEM에 비해 어려운 점은 특이 적분(singular integration)을 수행해야 한다는 점인데, 일반적으로 2차원 문제의 fundamental solution이 가지고 있는데, 이러한 특이성은 포함한 항은 크게 log(1/r) 항과 1/r 항으로 구별할 수 있다. 본 연구에서는 B-spline 기저함수를 이용하여 이러한 특이적분을 처리하기 위해 singular knot span (source parameter를 포함한 knot span) 내에서의 source parameter의 위치와 source parameter에서의 knot multiplicity에 따라 네 가지의 경우로 분류하고 1차 및 2차 B-spline 기저 함수에 대한 식을 유도하였다. 이는, 1. Log(1/r) 항을 갖는 적분식 계산을 위한 Logarithmic Gaussian quadrature integration scheme의 형식으로의 식 유도. 2. 1/r 항을 갖는 적분식 계산을 위한 Cauchy Principal Value 적분을 이용하여 regularity 식으로의 변환식 유도라 할 수 있다.
본 연구는 선형탄성문제에 적용되었으며, stress 경계조건이 knot span에 부과될 경우, 우선 traction 경계 조건으로의 변환 후, 이 knot span과 연관되는 제어점에 변환된 traction 경계조건을 분배하는 방법을 제안하였다.
한편, source parameter의 선정 문제는, 제어점에서 곡선으로 투영하여 이에 대한 B-spline 경계 곡선의 parameter를 역으로 계산하여, 이를 source parameter로 선정하였다. 이것을 제안하게 된 이유는, BEM 해의 특성을 향상시키려면 경계의 지오메트리 특성이 방정식에 충분히 반영되어야 하는데, 지오메트리를 결정하는 것은 제어점의 위치이므로 제어점으로부터 곡선에 투영된 지점이 지오메트리의 특성을 가장 잘 반영한다고 판단하였기 때문이다.
중간심사 이후, 본 연구 방법을 선형탄성문제에 적용하였으며, 해의 타당성을 검증하기 위하여 한 가지 예제를 수행하였다. 충분한 검토를 위해서는 보다 많은 예제의 추가가 필요하며 특히 기존의 방법과의 비교 및 오차 해석과 이를 토대로 메쉬 세분화 과정에 대한 연구가 필요하다.
본 연구의 기여 사항은 다음과 같다.
1. 등기하해석법을 경계요소법에 적용: 포텐셜 및 선형탄성 문제.
2. B-spline 기저 함수에 대한 특이적분식 유도: Log 적분식 유도 및 Cauchy Principal Value 적분.
3. Source parameter 선정 방법 제안.
본 연구에서 제안된 방법은 FEM을 기반으로 하는 등기하해석법에 비해 간단하게 임의의 형상 및 위상을 갖는 지오메트리를 처리할 수 있는데 반해, BEM을 기반으로 하였기 때문에 BEM이 갖는 단점들이 상속된다. 즉, 비선형 문제 및 얇은 쉘 문제 처리에 대하여 약점을 가지고 있다. 그러나, FEM과 BEM을 기반으로 하는 방법 모두 각각의 장단점을 가지고 있으며, 등기하해석법을 두 가지 방법에 혼합 적용한다면 상호 보완적으로 장점을 극대화할 수 있을 것으로 예상된다. 따라서, 등기하해석법을 두 가지 방법에 동시에 적용하는 것도 하나의 좋은 연구 과제가 될 것으로 기대된다. 아울러 제안된 방법에 대한 에러 계산에 기반을 둔 mesh adaptation 또한 의미 있는 향후 연구 주제라 할 수 있다.
