We study the topological and dynamical properties of sliding block codes between shift spaces together with the existence and extensions of these codes. Given a code from a shift space to an irreducible sofic shift, any two of the following three conditions ─ open, constant-to-one, (right or left) closing ─ imply the third. If the range is not sofic, then the same result holds when bi-closingness replaces closingness. Properties of open mappings between shift spaces are investigated in detail.
In Chapter 3, properties of infinite-to-one codes are given. For an almost specified shift X, we show that an irreducible shift of finite type Y of lower entropy is a factor of X if and only if it is a factor of X by an open bi-continuing code. If these equivalent conditions hold and Y is mixing, then any code from a proper subshift of X to Y can be extended to an open bi-continuing code on X.
In Chapter 4, we find a connection between symbolic dynamics and graph theory. Given two graphs G and H, there is a bi-resolving (or bi-covering) graph homomorphism from G to H if and only if their adjacency matrices satisfy certain matrix relations. We give several sufficient conditions for a bi-resolving homomorphism to have a bi-covering extension with an irreducible domain. Using these results, we prove that a bi-closing code between subshifts can be extended to an n-to-1 code between irreducible shifts of finite type for all large n.
본 논문에서는 여러 유형의 천이공간들 사이에 정의되는 인수함수들의 위상적 성질들을 분석하고 이를 이용하여 인수함수들을 분류하며 인수함수들이 갖는 성질들 사이의 관계를 규명한다.
먼저 인수함수간의 상호관계에 관한 문제를 다룬다. Hedlund는 완전천이공간 사이에 정의된 인수함수의 열림성과 상수역상성이 동치임을 증명하였고 Nasu는 이 결과를 비분할 유한형 천이공간의 경우로 확장하였다. 이때 양접합함수의 개념도 유한형 천이공간에서 열린함수 및 상수역상함수의 개념과 동치가 된다. 그래프형 천이공간 사이에서는 위에서 정의한 인수함수들이 서로 독립적임을 보이고, 이러한 인수함수들이 서로가 서로를 보완하는 관계를 가짐을 연구한다. 비분할 그래프형 천이공간을 치역으로 갖는 인수함수가 열림성, 접합성, 상수역상성 중에 두 가지 성질을 만족하면 나머지 한 가지 성질도 만족한다. 치역이 일반적인 천이공간일 때에는 양접합함수로 접합성을 대체하면 같은 결과를 얻는다. 인수함수의 동역학적 성질이 정의역과 치역의 특성을 어떻게 규정짓는지를 확인한다.
다음으로 인수함수의 존재성에 대해 연구한다. 주어진 두 천이공간 사이에 인수함수가 언제 존재하는지, 그리고 특정 조건의 인수함수가 언제 존재하는지에 대한 문제는 기호동역학에서 중요한 문제 중에 하나이다. Boyle은 엔트로피가 서로 다른 두 비분할 유한형 천이공간 사이에 인수함수가 존재할 필요충분조건을 발견하였다. 이를 확장하여, 엔트로피가 다른 준특정 천이공간과 비분할 유한형 천이공간 사이에 인수함수가 존재할 필요충분조건을 제시하고 이 조건이 양연결성 열린함수의 존재성과 동치임을 증명한다. 이를 사용하여 비분할 그래프형 천이공간의 부분공간에서 정의된 함수가 전체공간으로 확장될 필요충분조건을 고찰한다.
마지막으로 그래프함수의 분해성에 관해 연구한다. 두 그래프사이에 양분해성 그래프함수가 존재할 필요충분조건이 두 그래프의 인접행렬들과 특별한 관계를 만족하는 준합병행렬이 존재하는 것과 동치임을 보인다. 양분해성 그래프함수가 확장될 조건을 연구하고 이를 기호동역학에 적용하여 두 천이공간 사이의 양접합성 함수는 임의의 두 비분할 천이공간 사이의 상수역상함수로 확장이 가능함을 보인다.
