This dissertation consists of two parts: sampling of functions and sampling of operators. Sampling theory for functions/signals has been developed in order to reconstruct continuous signals from their discrete values. Operator sampling is introduced to prove operator identification for linear time-varying systems.
For sampling of functions, we derive multi-channel sampling formula considering multiple parallel filter banks and suitable transfer functions. The classical sampling theorem is extended to the Kramer`s Lemma by replacing the Fourier kernel with any integral kernel. An irregular sampling formula is also provided in Kramer`s Lemma. Combining the concept of Kramer`s Lemma and multi-channel sampling, we derive a multi-channel, irregular sampling formula in a general abstract Hilbert space. This abstract Hilbert space setting gives us more flexibility to choose signals which are not necessarily band-limited, and to distribute sampling rates arbitrarily to each channel. Oversampling is considered in a single-channel sampling in the general abstract Hilbert space, and recovery of missing samples is discussed. We also provide periodic nonuniform sampling formulas for multi-band signals, where multi-band structure can be arbitrary. Periodic nonuniform sampling is known for an efficient scheme for analysis of multi-band signals, and interpreted as a special case of multi-channel sampling. Furthermore, we discuss the conditions on the coefficient matrices for the reconstruction formula to be a Riesz basis or frame expansion so that the expansion is stable under the error which might occur during sampling process. We consider an interesting situation that the estimation of the spectrum, but only partial, is required for multi-band signals.
Sampling of operators is a special case of the operator identification. Operator identification, or channel measurement, is one of the fundamental questions in communications engineering. It is desirable to identify incompletely known operators from the observation of finite number of input signals and their corresponding output signals. The test signals that characterize the whole class of operators are called identifiers. When identifiers are given by delta trains, it is reduced to operator sampling. We first provide uniform operator sampling for the Hilbert-Schmidt operators by means of elementary orthonormal basis expansion, and then extend it to the shift-invariant space setting. In communications, Hilbert-Schmidt operators are represented by their time-varying impulse responses. We derive uniform operator sampling formula when time-varying impulse responses lie in some shift-invariant spaces along certain lines. As one natural extension of the classical sampling theorem for functions is irregular sampling, we consider irregular operator sampling, that is, the support of identifiers given by delta trains can be nonuniformly distributed. We give the Beurling density and separation conditions for the set of sampling for operators. We also discuss irregular operator sampling in Kramer`s Lemma, which shows the possibility of general spreading functions for Hilbert-Schmidt operators. Finally, we show that overspread operators can be identifiable from multiple identifiers.
본 학위 논문에서는 크게 함수 샘플링과 작용소 샘플링을 다룬다. 함수 또는 신호의 샘플링은 연속 신호를 그들의 이산적인 값들로부터 재구성하는 문제들을 다룬다. 작용소 샘플링은 선형 시변 시스템의 시스템 또는 작용소를 재구성 하는 문제로부터 시작되었다.
함수 샘플링에서는 우선 여러 개의 평행한 다중 필터와 그들의 전달 함수들을 생각하여 다중 채널 샘플링을 얻는다. 각각의 채널에서는 원래 신호의 샘플링 비율보다 낮은 비율로 샘플링을 할 수 있다. Whittaker, Kotel'nikov와 Shannon에 의해서 얻어진 샘플링 정리는 현대 샘플링 이론의 기초가 되었으며, 이는 푸리에 변환과 정규직교기저 전개식에 기반을 두고 있다. 여기서 푸리에 핵을 일반적인 적분 핵으로 대치하면, Kramer의 정리를 얻을 수 있다. 또한 불균등 샘플링으로 확장하는 아이디어를 Kramer 정리에서 얻을 수 있다. 이것을 다중채널 샘플링과 결합하여, 좀 더 추상적인 힐버트 공간에서 다중채널, 불균등 샘플링 정리를 얻는다. 여기서 우리는 각각의 채널에 각기 다른 샘플링 비율을 줌으로써, 주파수 대역이 제한되지 않은 일반적인 신호들을 완벽히 복원 할 수 있는 가능성을 보인다. 오버샘플링 이론은 일반적으로 Nyquist 샘플링 비율보다 높은 비율로 샘플들을 뽑는 경우를 말하며, 샘플링 과정에서 유한개의 샘플들을 잃어버린 경우에도 나머지 샘플들로부터 복원을 할 수 있다. 일반화된 추상적 힐버트 공간에서 한 개의 채널로부터 얻어진 오버샘플링 결과를 얻고, 여기서 유한개의 손실된 데이터를 복원하는 문제를 생각해본다. 또한, 주기적 불균등 샘플링을 통해 다중 대역 신호를 복원한다. 일반적으로 주기적 불균등 샘플링 방법은 다중 대역 신호를 분석하는데 아주 유용한 수단으로 알려져 있다. 다중 대역 샘플링에서는 신호를 복원하기 위해 계수들로 이루어진 보조 행렬이 등장하는데, 일반적으로는 가역적이지 않다. 그 행렬이 가역적, 일반적으로는 좌가역이 되도록하는 조건들을 찾고, Riesz 기저나 frame 전개식이 되도록 하는 조건들을 찾는다. 이러한 전개식은 샘플링 과정에서 생길 수 있는 오차에 대해 보다 안정적이다. 신호의 스펙트럼을 복원하는 문제를 생각해보는데, 여기서는 특정한 일부분의 스펙트럼을 복원하는 문제를 생각한다. 특정 스펙트럼을 복원할 때는 원래 신호를 전부 복원할 필요가 없으므로, Nyquist 샘플링 비율, 정확하게는 Landau 샘플링 비율보다도 낮은 샘플링 비율을 사용해도 된다.
작용소 샘플링은 작용소 재구성 문제로 해석할 수 있다. 통신공학에서는 신호의 송신/수신전에 채널 혹은 작용소의 정보를 아는 것이 중요하다. 일반적으로 유한개의 입력 신호와 출력 신호를 관찰하여 채널을 측정한다. 전체 채널/작용소를 결정짓는 테스트 신호들을 식별자라고 하며, 이 식별자가 특별히 델타함수들의 합으로 결정되면 우리는 이것을 작용소 샘플링이라고 부른다. 통신 채널을 특별히 Hilbert-Schmidt 작용소로 모델링하고 이 작용소들에 대한 균등 샘플링을 정규직교기저 전개식을 통해 얻는다. Hilbert-Schmidt 작용소는 그것의 시변 충격함수 반응으로 표현할 수 있는데, 이 충격함수 반응이 이동 불변 공간에 있는 경우에도 균등 샘플링을 할 수 있다. 또한 불균등 샘플링을 작용소 샘플링에서도 생각해 볼 수 있는데, 식별자의 support가 불균등하게 분포되어 있는 전개식을 얻는다. 우리는 특별히 샘플링 수열의 Beurling 밀도와 분리 상수와의 관계를 구한다. Kramer 정리를 작용소 샘플링에서 생각하여 보다 일반적인 spreading 함수를 통해 얻어진 Hilbert-Schmidt 작용소에 대한 샘플링 전개식을 구한다. 마지막으로, spreading 함수의 support가 넓이가 1이상인 경우, 일반적으로 그 작용소의 재구성은 불가능하다고 알려졌다. 우리는 다중채널 샘플링 방법을 이용하여 이 경우에도 다중 테스트 입력 신호를 통해 작용소를 복원 할 수 있음을 보인다.
