We study extremal objects among singular algebraic surfaces: rational homology projective planes, i.e., normal projective surfaces which have the same Betti numbers as the complex projective plane.
The number of singular points on rational homology projective planes is not bounded in general. However, it is known that if we allow only quotient singularities, then the number of singular points is bounded above by 5. There are many examples with 4 singularities, but no examples with 5 singularities are known. As a main result of this thesis, we determine the maximum number of singular points on rational homology projective planes with quotient singularities. More precisely, we prove that if a rational homology projective plane with quotient singularities has exactly 5 singular points, then it has singularities of type $3A_1 \oplus 2A_3$, and its minimal resolution is a smooth Enriques surface. An example of a rational homology projective plane with $5$ quotient singularities can be constructed by contracting suitable 9 curves forming $3A_1 \oplus 2A_3$ on an Enriques surface.
We also prove some intersection-theoretic formulas for curves on the minimal resolution of rational homology projective planes with quotient singularities, and a number-theoretic formula on Hirzebruch-Jung continued fractions.
복소사영평면과 베티 수(Betti number)가 같은 정규(normal) 사영곡면을 유리 호몰로지 사영평면이라고 한다. 유리 호몰로지 사영평면은 대수 복소 곡면의 한 극단적인 대상으로써 최근 들어 많은 연구가 이루어지고 있다.
일반적으로, 유리 호몰로지 사영평면이 갖는 특이점의 최대 갯수는 결정할 수 없다. 하지만, 특이점들이 오직 상특이점(quotient singularity)뿐인 유리 호몰로지 사영평면은 많아야 5개의 특이점을 갖는다는 사실이 잘 알려져 있다. 4개의 상특이점을 갖는 유리 호몰로지 사영평면의 예는 그동안 많이 알려져 있지만, 5개의 상특이점을 갖는 유리 호몰로지 사영평면의 알려진 예는 없었다.
본 학위논문에서는 유리 호몰로지 사영평면이 가질 수 있는 상특이점의 최대 갯수를 결정한다. 구체적으로 5개의 상특이점을 갖는 유리 호몰로지 사영평면의 특이점 유형은 $3A_1 \oplus 2A_3$ 임을 밝히고, 그것의 최소 비특이 모델(minimal resolution)이 엔리케(Enriques) 곡면임을 보인다. 뿐만 아니라, 이러한 상특이점이 5개인 유리 호몰로지 사영평면의 한 예를 건설한다.
또한, 상특이점을 갖는 유리 사영평면의 최소 비특이 모델위에 있는 곡선들의 교차이론적인(intersection-theoretic) 공식을 증명하고, 히르체부르흐-융(Hirzebruch-Jung) 연분수에 관한 정수론적인 공식을 증명한다.
