In this thesis, we study varieties of almost minimal degree (i.e. $\mbox{deg} (X) = \mbox{codim}(X, \P^r)+2$). To understand these varieties, many people have investigated their structure theories which are cohomological property, local property and homological property.
First we study the problem to determine all occurring Betti diagrams of varieties $X \subset \P^r$ of almost minimal degree and describe a realistic picture of how many different kind of Betti diagrams exist at all.
Next we study the problem to classify non-normal varieties of almost minimal degree with low codimension in the viewpoint of projective equivalence. If $X \subset \P^r$ is an irreducible non-normal variety of almost minimal degree which is not a cone. Then for $\mbox{codim}(X, \P^r)=1$, we prove that $r \leq 4$ and there are precisely five (resp. six) irreducible non-normal cubic equations when $\mbox{char}~K \neq 2,3$ (resp. when $\mbox{char}~K = 2,3$), up to projective equivalence. Finally for $\mbox{codim}(X, \P^r)=2$, we prove that $r \leq 5$ and there are six (resp. nine) irreducible non-normal complete intersection of two quadrics when char $\mbox{K} \neq 2$ (resp. whenchar $\mbox{K} = 2$), up to projective equivalence. Also we describe the normalization of $X$ in detail.
작은 차수를 가지는 사영다양체들의 구조를 이해하고 이 다양체들을 분류하는 문제는 대수기하에서 오랬동안 연구되어왔다. 특별히 최소 차수를 가지는 다양체들에 대해서는 Homological, Cohomological, Local 성질들이 완벽하게 이해되어져있다. 이 논문은 거의 최소차수를 가지는 사영다양체들에 관한 연구로써 크게 두 부분으로 이루어져있다. 먼저 사영다양체를 결정하는 ideal의 Minimal Free Resolution 에 관련해서 주어진 codimension $c$ 에 대해서 많아야 $c$ 의 파티션의 개수인 $P(c)$ 만큼의 서로다른 Betti diagram 들이 존재하는 것을 보였다. 또한 컴퓨터 프로그램인 $'SINGULAR'$를 이용해서 Minimal Free Resolution 을 구하는 방법을 구현하고 $2 \leq c \leq 8$에 대한 모든 Betti diagram을 계산했다. 두번째로 Projective Equivalence 관점에서 singular plane cubic curve 와 singular surface 에 대해서 알려진 사실들을 확장해서 임의의 dimension 과 characteristic 에서 'Non-normal cubic hypersurfaces' 를 완벽하게 분류할 수 있었다. 마지막으로 같은 아이디어를 이용해서 'Non-normal complete intersection of two quadrics' 에 대해서도 임의의 dimension 과 characteristic 에서 Projective Equivalence 관점으로 완벽하게 분류할 수 있었다.
