For any function of band-limited to $[-\pi, \pi]$, that is, $f \in PW_{\pi}$, if there exists $\alpha > 0$ such that $\alpha \leq |detH(\xi)|$, we have GSE;
$\begin{displaymath} f(t)=\sum^{N}_{k=1} \sum_{n\in Z} g_{k}(nN) y_{k}(t-nN) \end{displaymath}$
where $H(\xi)$ is the transfer matrix of $N$ filters and
$\begin{displaymath} y_{k}(t) = \frac{1}{2\pi} \int^{\pi}_{-\pi} Y_{k} (\xi)e^{it\xi} d\xi \end{displaymath}
,which converges in $L^{2}(\mathbb{R})$ and uniformly on $\mathbb{R}$ and the GSE is well-posed.
Moreover, $\{y_{k} (t-nN) | 1 \leq k \leq N, n \in \mathbb{Z}\}$ is Riesz basis of $PW_{\pi}$.
And we find the determinant condition $\alpha \leq |detH(\xi)|$ is sufficient and necessary condition of being GSE Riesz basis expansion in $L^{2}(\mathbb{R})$.
임의의 $f \in PW_{\pi}$ 에 대하여 만약 transfer 행렬 $H(\xi)$ 이 어떤 $\alpha > 0$ 에 대하여 $\alpha \leq |detH(\xi)|$ 를 만족하면 일반화된 다중채널 전개
\begin {displaymath} f(t) = \sum^{N}_{k=1} \sum_{n \in Z} g_{k} (nN) y_{k} (t-nN) \end{displaymath}
가 $L^{2} (\mathbb{R})$ 에서 수렴하고 $\mathbb{R}$ 에서 균등수렴하며 그 안정성이 보장된다. 게다가 $\{y_{k} (t-nN) | 1 \leq k \leq N, n \in \mathbb{Z}\}$ 는 $PW_{\pi}$ 의 Riesz 기저이다.
역으로
\begin{displaymath} f(t)=\sum^{N}_{k=1} \sum_{n\in Z} g_{k} (nN) y_{k} (t-nN) \end{displaymath}
가 Riesz 기저 전개이면 어떤 $\alpha > 0$ 에 대하여 $0 < \alpha \leq |detH(\xi)|$ 가 성립함을 밝혔다.
