In this paper, we present the definition of semimartingale and give the treatment of stochastic integration as a Riemann-type limit of sums. This approach is not like the classical one, which defines a semimartingale to be the sum of a local martingale and a finite variation process. We also apply the theory of stochastic integration to obtain the integro-differential equation for the value of an Asian option when the stock price is driven by a $L\grave{e} vy$ process. Here we use the technique of change of $num\grave{e} raire$ used frequently in the literature to remove the path dependency in option pricing problem.
본 논문에서는 세미마팅게일의 정의와 확률적분을 정의하였다. 고전적 세미마팅게일의 정의와는 다르게 적절한 선형함수를 정의하여 함수의 연속성을 보장하는 과정을 total 세미마팅게일로 정의하고, 각 시각 t에서 멈추어진 과정이 total 세미마팅게일인 과정을 세미마팅게일로 정의하였다. 물론 이런 방식으로 정의된 세미마팅게일은 고전적 세미마팅게일과 동치임을 여러 책과 논문에서 확인 할 수 있다.
위 내용들을 기본으로 하여 아시안 옵션의 가격 함수가 만족하는 적분-미분 방정식을 이끌어 냈다. 이때 주식 가격은 레비 과정에 의해 발생한 과정으로 가정하였다. 레비 과정은 기본적으로 브라운 운동이나 포아송 과정을 포함하므로 포아송 점프가 포함된 기하학적 브라운 운동도 우리가 살펴본 주식모형에 포함된다.
