In the methods of non-overlapping domain decomposition for second-order elliptic problems, it is well-known that the weak solution is equivalent to the minimizer of the energy functional defined by a sum of the local energy on partitioned subdomain if the trace continuity constraint across the interface is satisfied. Based on the constrained minimization, many studies for treatment of the continuity constraint have been done in view of various perspectives: the Lagrangian method, the method of penalty function, and the augmented Lagrangian method, etc. The Primal-Dual FETI (FETI-DP) method is one of the most advanced dual substructuring methods, which partially follows the principle of the Lagrangian method. The FETI-DP enforces the continuity on the interface in two different points of view: the continuity of the primal solution at corners caused by making all of the associated subdomains with a corner share the same degree of freedom at the corner and the continuity on the rest of the interface imposed by using Lagrange multipliers following the standard Lagrangian approach for constrained minimizations.
In this dissertation, an iterative substructuring method with Lagrange multipliers is considered for second order elliptic problems in both two dimensions and three dimensions. We first propose a dual substructuring algorithm with a penalty term in two dimensions. The proposed method treats the continuity constraint across the interface in view of the augmented Lagrangian method, that is, imposes the continuity constraint by augmenting a penalty term as well as the pointwise matching condition on the interface in the same way as in the FETI-DP. To the Lagrangian functional, we add a penalty term which measures the jump across the interface and includes a positive penalization parameter $\eta$. As in most dual substructuring methods, the original problem is reduced to a dual system for Lagrange multipliers by eliminating all of primal degrees of freedom in a properly chosen order. The resultant dual system is solved iteratively by the conjugate gradient method (CGM). The proposed method as a variant of the FETI-DP method is characterized by two distinct properties. First, unlike other iterative substructuring methods based on DD preconditioners, we do not need any preconditioner for the dual system since the proposed method is scalable in the sense that the condition number of the relevant dual system has a constant bound which is independent of the subdomain size $\textsl{H}$ and the mesh size $\textit{h}$, but depends on the chosen penalty parameter $\eta$. Secondly, focusing on the implementation of the proposed algorithm, the difference with the FETI-DP is to solve coupled subdomain problems that contain a penalty term with a penalization parameter. Such subdomain problems are solved iteratively by CGM. In the case with a large penalization parameter, the preconditioned CGM is adopted in company with a preconditioner which prevents a large penalization parameter from making subdomain problems ill-conditioned. In the development of domain-decomposition algorithms as fast and efficient solvers for large scale problems, it is necessary to extend the well-designed algorithms for two dimensional problems to the three dimensional case. It is noted that the extension in a straightforward way does not provide an efficient iterative solver in practical sense. Hence, focusing on a practical implementation in three dimensions, we introduce an extension of a dual iterative substructuring method with a penalty term for the three dimensional problem. Similarly to the case in 2D, the algorithm for the three dimensional problem consists of two main parts; one is to introduce a strong penalty term enough to enhance the convergence speed to the satisfactory level and the other is to develop inner preconditioners which aim to remove the ill-conditioning property caused by the choice of large penalization parameters. A penalty term with a penalization parameter $\eta$ is modified by understanding the geometric complexity of an interface in three dimensions caused by the coupling among adjacent subdomains. Similarly to the case in two dimensions, for a large $\eta$, it is shown that the condition number of the resultant dual problem is bounded by a constant independent of both the subdomain size $\sl{H}$ and the mesh size $\it{h}$. Furthermore, the construction of inner preconditioners is more complicated in 3D than in 2D, whose main role is to get rid of inefficiency of an inner iterative solver due to the choice of a large penalization parameter. We suggest an optimal preconditioner with respect to a penalization parameter $\eta$. The preconditioner is established with the help of two auxiliary preconditioners, which is spectrally equivalent to two auxiliary ones, that is, is as efficient as those two in mathematical point of view but is much more practical in implementational point of view.
본 학위논문에서는, 2차원과 3차원에서의 2차 타원 문제에 관한 수치적 반복해법으로서 penalty 항을 갖는 쌍대 반복 영역분할법 (dual iterative substructuring method) 을 제안한다. 일반적으로, 영역분할법 (domain decomposition method) 은 편미분방정식이 정의되어지는 물리적 문제영역을 분할하는 방법에 따라 겹치는 영역분할법 (overlapping domain decomposition) 과 겹치지 않는 영역분할법 (non-overlapping domain decomposition) 으로 나누어진다. 제안되어진 쌍대 반복 영역분할법은 겹치지 않는 영역분할법에 속하며, 이러한 접근법에서는 겹치지 않는 영역들의 경계의 공통부분에 해당하는 interface 가 주요한 요소이다. 즉, 겹치지 않는 영역분할법에서는 interface 상에서 각 부분영역별로 개별의 미지수를 가지므로, 이러한 interface 미지수의 연속성에 관한 제약조건을 부가하는 것이 주된 관심사이다. interface 상의 제약조건은 최적화분야에서 널리 사용되는 penalty 방법, 라그랑지 방법 (Lagrangian method), 확장된 라그랑지 방법 (augmented Lagrangian method) 등을 통해 다루어 질 수 있다. 최근까지의 연구에 따르면 FETI-DP (Dual-Primal Finite Element Tearing and Interconnecting) 방법이 가장 우수한 쌍대 반복 영역분할법으로 평가되어진다. FETI-DP 방법은 부분적으로 라그랑지 방법을 따름으로써 interface 상의 연속성 제약조건을 만족시키도록 한다. 우선 부분영역들의 corner 에서 각 부분영역이 개별의 미지수를 갖는 것이 아니라 하나의 primal 미지수만을 갖도록 함으로써 연속성을 직접적으로 부가하며, 다음으로 corner 를 제외한 interface 상의 노드에서는 라그랑지 승수 (Lagrange multiplier) 를 도입함으로써 해당노드에서의 연속성을 약하게 부가한다.
본 학위논문에서는 먼저, 2차원에서의 2차 타원문제에 관한 쌍대 반복 영역분할법이 제시되어진다. 제안된 방법은 확장된 라그랑지 방법에 기반을 두고서 interface 상의 연속성 제약조건을 부가한다. 다시 말해, FETI-DP 방법과 마찬가지로 라그랑지 승수를 도입하여 interface 상의 연속성을 부가할 뿐 아니라, interface 상의 primal 미지수의 jump 를 측정하는 penalty 항을 추가적으로 채택한다. 따라서, 우리는 기존의 알려진 라그랑지 범함수가 아닌, 새롭게 고안된 penalty 항이 추가되어진 범함수의 안장점 문제 (saddle-point problem) 에 관심을 갖는다. 이러한 안장점 문제는 일반적인 쌍대 영역 분할법의 primal 미지수에 관한 소거법을 따름으로써, 라그랑지 승수만을 쌍대 (dual) 미지수로 갖는 문제로 귀결된다. 도출된 쌍대 문제는 CGM (conjugate gradient method) 에 의해 반복적으로 풀려진다. 이상에서 살펴본 바에 따르면 제안된 영역분할법은 FETI-DP 방법의 변형으로 간주될 수 있으며, 제안된 방법은 아래의 제시되는 두 가지 성질로 특징지어질 수 있다. 첫째, 영역분할법적 선조건자 (preconditioner) 개발에 초점을 두는 대부분의 반복 영역분할법과는 달리, 제안된 방법은 어떤 선조건자를 동반하지 않았음에도 불구하고 scalable 알고리즘이 됨이 입증된다. 좀 더 구체적으로 말해, 제안된 방법에서 도출된 쌍대 문제의 condition number 에 관해 부분영역의 크기 $\textsl{H}$ 와 mesh 크기 $\textit{h}$ 모두와 무관한 상수유계가 존재함이 밝혀진다. 최적 선조건자로 알려진 Dirichlet 선조건자를 수반한 FETI-DP 방법에서의 condition number bound 가 $C(1+log(H/h))^2$ 임에 근거해 볼 때, 제안된 방법의 위와 같은 특성은 획기적인 결과라 볼 수 있다. 둘째, 반복해법의 실제 구현 측면에서 살펴 보면, 쌍대 미지수상에서의 각 CG iteration 이 이루어질때 내부에서 부분영역문제들이 CGM 에 의해 반복적으로 풀려진다. 추가되어진 penalty 항에 포함된 penalization 매개변수 $\eta$ 의 증가와 함께, 부분영역 문제의 condition number가 선형적으로 증가됨이 수학적으로 해석된다. 이러한 난점을 제거하기 위해 $\eta$ 에 관한 최적의 선조건자를 개발함으로써, 큰 $\eta$ 로부터 발생할 수 있는 비효율성이 완전히 해결되어진다.
다음으로, 2차원에서 제안된 방법의 3차원 문제로의 확장이 제시되어진다. 2차원 문제에서와 유사하게 두 가지 요소가 고려되어진다. 하나는 쌍대 문제측면에서 원하는 수준의 수렴속도를 보장할 수 있는 penalty 항의 고안이며, 다른 측면은 penalization 매개변수로부터 발생될 수 있는 문제를 해결하기 위한 inner 선조건자를 개발하는 것이다. 2차원 문제와 비교해 볼 때, 3차원에서는 인접 부분영역들 사이의 결합방식에 있어서 interface 에서의 기하학적 복잡도가 높아진다. 이러한 인지를 바탕으로 실제 계산효율에 초점을 둔 3차원에 적합하도록 변형되어진 penalty 항이 채택되어진다. 그러한 penalty 항을 추가하여 얻어진 반복 영역 분할법은 쌍대 문제의 condition number bound 관점에서 2차원문제와 동일한 수렴성을 가짐이 증명되어진다. Interface 자체의 기하학적 복잡도 상승은 부분영역 문제에도 영향을 주게 되어, 2차원문제에 비해 $\eta$ 에 관한 최적 inner 선조건자 해석에 있어 좀 더 심층적인 분석이 요구되어 진다. 제안된 방법의 실제 구현에서 사용되어지는 선조건자 외에 이와 spectral equivalence 관계에 있는 두 개의 보조적인 선조건자들이 고려되어지며, 이들의 도움으로 제안된 선조건자의 $\eta$에 관한 optimality 가 입증된다. 더욱이, 이상에서 제안되어진 2차 타원문제에 관한 쌍대 반복 영역분할법은 2차원과 3차원에서의 수치실험을 통해 그 우수성이 재확인되어진다.
