In algebraic number theory, it is a classical problem to construct class fields over imaginary quadratic fields. Indeed we have by the theory of complex multiplication that ring or ray class fields can be generated by using the elliptic modular function $\it{j}$ and the Fricke function. And in 1964 by using the Kronecker`s limit formulas Ramachandra obtained one generator which enables us to construct all class fields. Thus theoretically the problem of constructing class fields was fully settled down. But practically the generators are too complicated to compute their minimal polynomials. Since then, some mathematicians tried to find `good` generators in the sense that their minimal polynomials are computable and have small coefficients. In 1993, using the theory of Shimura reciprocity law, Chen and Yui constructed ring class fields generated by singular values of Thompson series and gave the tables of minimal polynomials. And other similar results were obtained by P. Stevenhagen, A. Gee, R. Schertz, J. K. Koo, C. H. Kim and so on. In this thesis we provide certain new methods of constructing ring or ray class fields by using the theory of Shimura`s canonical models and his reciprocity law. More precisely, by constructing Shimura`s canonical models explicitly, we can conclude that ring or ray class fields are generated by singular values of functions fields of Shimura`s canonical models. By our methods we can partially extend several previously known results. For example, if the genus of a Shimura`s canonical model is 0, then we immediately get that the class field corresponding to the model is generated by a singular value of the corresponding Hauptmodul.
In the other part of this thesis we consider the modular equations of the Ramanujan- $G\odblac$ llnitz-Gordon continued fraction. Classically we know that the modular equations of the elliptic modular function $\it{j}$ satisfy the so-called Kronecker`s congruences. In 1993 Chen and Yui proved that the modular equations of the Thompson series satisfy the Kronecker`s congruences too. Recently Cais and Conrad considered in 2006 the same problem for the Hauptmodul $j_5$ of $\Gamma(5)$, which is the reciprocal of the Rogers-Ramanujan continued fraction. In this thesis we get similar results for the Ramanujan-$G\odblac$ llnitz-Gordon continued fraction.
정수론에서 허이차체의 유체를 구성하는 것은 오래된 문제이다. 실제로 복소곱 이론에 따르면 환 또는 선유체는 타원 보형함수 $\it{j}$와 프리케 함수를 이용하여 생성될 수 있음이 알려져 있다. 그리고 1964년에 라마찬드라는 크로네커의 극한 공식을 이용하여 모든 유체를 구성할 수 있는 하나의 생성원을 구할 수 있었다. 따라서 이론적인 측면에서는 유체의 구성에 관한 문제는 완전히 해결되었다. 하지만 실용적인 측면에서 볼 때 그 생성원은 극소다항식을 구하기엔 너무 복잡하다. 그 후로, 몇 명의 수학자들은 극소다항식이 계산 가능하고 작은 계수를 가지는 `좋은` 생성원을 찾으려고 하였다. 1993년에 첸과 유이는 시무라 상호법칙을 이용하여 톰슨 급수의 특이값으로 환유체를 구성하고 극소다항식을 구하였다. 그리고 비슷한 결과들이 피터 스티븐하겐, 앨리스 기, 라인하르트 셔츠, 구자경 그리고 김창헌 등에 의하여 얻어졌다. 본 학위 논문에서는 시무라 표준 모델과 상호법칙에 관한 이론을 이용하여 환 또는 선유체를 구성하는 새로운 방법을 제시한다. 좀 더 자세히는, 시무라 표준 모델을 구체적으로 구성함으로써 환 또는 선유체가 시무라 표준 모델의 함수체의 특이값에 의해 생성된다는 것을 보인다. 이 방법에 의하면 기존에 알려진 몇몇 결과들을 부분적으로 확장할 수 있다. 예를 들어, 시무라 표준 모델의 종수가 0이면 그 모델에 대응하는 유체는 대응하는 하웁트모둘의 특이값에 의해 생성됨을 바로 알 수 있게 된다.
본 학위 논문에서 다루는 다른 한 부분으로는 라마누잔-괼니츠-고든 연분수의 보형방정식에 관한 것이다. 전통적으로 타원 보형함수 $\it{j}$의 보형방정식이 소위 크로네커의 합동을 만족한다는 것이 알려져 있다. 1993년에 첸과 유이는 톰슨 급수의 보형방정식 역시 크로네커의 합동을 만족한다는 것을 증명하였다. 최근에는 카이스와 콘래드가 2006년에 로저스-라마누잔 연분수의 역수인 $\Gamma(5)$의 하웁트모둘 $j_5$에 관한 같은 문제를 다루었다. 본 학위 논문에서 우리는 라마누잔-괼니츠-고든 연분수에 관한 비슷한 결과를 얻는다.
