We study the dynamic behaviors of synchronization and random fields Ising models on complex networks, in which the effects of static topological properties to the dynamic behaviors of each model are investigated thoroughly for various network models such as globally connected networks, random networks, small-world networks, and scale-free networks. Especially focused on the synchronization phenomena, we study the relaxation dynamics of synchrony on various complex networks and investigate how the order of synchronization can be controlled by increasing the directionality on directed networks. In order to study general synchronization more, we extend Kuramoto synchronization model to the more general active rotator models. On the studying the dynamics of random fields Ising models on complex networks, we invent a new community finding method adapting the ground states properties of zero-temperature random fields Ising model. Applying our community finding method to various social networks, community structures are successfully revealed as a ground state domains of Ising spins. Furthermore based on the understanding of the static and dynamic properties of complex networks, we apply useful network concepts to the biological data to investigate hidden properties of biological systems.
First, we study collective synchronization in a large number of coupled oscillators on various complex networks. In particular, we focus on the relaxation dynamics of synchronization, which is an important issue from the viewpoint of information transfer or the dynamics of system recovery after a perturbation. From this study we find out that the network relaxation time does not depend on the network size but depend on the order of desynchronized states. Furthermore, we investigate how we can improve the order of synchronization just by changing the link direction conserving the local linking cost and topology. We propose the residual degree gradient network method to increase the synchronizability. The linear stability analysis of synchronization and network structural property analysis are performed. From the observation of the dynamics of Kuramoto synchrony on ditected networks, we find that while random assignment of link directions generally weakens the degree of synchronization, properly organized directionality can systematically enhance the network synchronization. In this respect, we suggest a simple method of changing link direction according to the larger residual degree starting from small residual degree nodes. Finally, we extend the Kuramoto model on complex networks by adding the external forces, in which we observed the noise-induced phase transitions from the periodic phase to the stationary, for sometimes from the stationary to the periodic one. The microscopic mechanism of the phase transition is studied thoroughly.
As an application of dynamic behavior to community finding problem, we study the zero-temperature random fields Ising model and propose a method to determine the community structure of complex networks. In this method, the ground state problem of ferromagnetic random field Ising model is considered on the network applying plus infinity strength of magnetic field to s node, and minus infinity to t node for every node pair s and t. The ground state problem is equivalent to the so-called maximum flow problem, which can be solved exactly numerically with the help of a combinatorial optimization algorithm. The community structure is then identified from the ground state Ising spin domains for all pairs of s and t. Our method provides a criterion for the existence of the community structure, and is applicable to unweighted and weighted networks equally well. We demonstrate the performance of the method by applying it to the Barabasi-Albert network, Zachary karate club network, the scientific collaboration network, and the stock price correlation network.
In order to apply the complex network concepts to the biology, we propose a new method for reconstructing a gene regulatory network from a gene expression profile. In this method, we directly use the gene expression level as a weight of weighted network between genes. Each gene expression level is checked by means of p-value test for each experiment to gain the confidence of the genetic network. We consider two different kinds of links to represent up and down regulation of the genes. Up regulation links are assigned between two genes when the gene expression level of one gene is increasing due to the other gene. To decipher the most prudent genetic network without degeneracy, we adapt the minimum spanning tree technique on weighted directional networks. The algorithm removes surplus links which originate from indirect effects of perturbation and results in the most concise directed network, containing two different kinds of links: positive-weight and negative-weight links. We compare our result with a part of the genetic network of yeast known from the literature and databases.
시스템의 구조적 성질은 그 시스템 안에서의 동역학에 직접적인 영향을 준다. 그러므로 우리는 동역학을 이해함으로써 그 시스템을 더욱 잘 이해할 수 있다. 최근 네트워크 연구에서는 통계 물리학의 다양한 동역학 문제들에서 네트워크 구조의 영향을 알아보는 연구가 수행되었다. 특별히 본 연구에서는 복잡계 네트워크 구조 안에서 동조 현상에 초점을 맞추어, 완전히 비동기화 되어 있는 초기 상태에서 동기화되어 가는 과정과 방향성 있는 네트워크에서 연결 방향성을 조절함으로써 동기화의 정도를 조절하는 방법을 연구하였다. 또한, 자연스러운 연구의 확장으로 구라모토 모델에 위상에 따른 저항벽이 있을 경우의 백색 잡음의 세기에 따른 상전이 현상을 연구하였다. 더불어, 복잡계 네트워크 위에서의 동역학 특성에 대한 연구를 바탕으로 네트워크의 구조체 단위를 찾는 방법을 제시하였고, 단백질 및 유전자 연결 관계 생물학 정보에 네트워크 분석을 적용하여 효모의 유전자 발현 네트워크를 규명하였다.
먼저, 본 연구에서는 여러 복잡계 네트워크 위에서 다수의 연결 진동자의 집단 동기화 과정을 연구하였다. 이런 동기화 과정은 네트워크 연결 구조 위에서의 정보 전달이나 외부의 충격으로부터 시스템이 회복되는 과정을 연구하는 관점에서 중요하다 할 수 있다. 본 연구 결과, 구라모토 모델의 경우, 전체 시스템이 동기화되기까지 걸리는 시간은 시스템의 크기와는 무관하며, 최초 시스템의 비동기화 정도에 따르는 것으로 밝혀졌다. 이러한 결과는 완전히 서로 연결된 구조뿐 아니라 모든 네트워크 구조에서 나타나는 것을 확인했다. 방향성 있는 네트워크에서의 동기화 연구에서는, 방향성 있는 네트워크에서 전체 연결 구조 변경 없이 연결 방향만을 바꾸어 진동자들의 동기화 정도를 조절하기 위하여, 방향이 결정되지 않고 남은 연결선 수가 가장 적은 연결 먼저 방향을 정해 주는 방법을 제시하였다. 이러한 연구는 전체적인 구조 변경이 없어 추가적인 비용이 들지 않고, 하드웨어적인 접근이 아닌 소프트웨어적 접근으로 동기화 정도를 조절하는 방법이다. 방향성을 무작위로 결정하게 되는 경우, 진동자의 동기화가 나빠지지만, 본 연구에서 제시한 방법으로 연결 방향성을 증가 시키면 오히려 전체적 동기화가 잘 이루어지는 것을 알 수 있었다. 마지막으로, 위상에 따른 저항벽이 더해진 구라모토 모델인 능동 회전자 모델에서, 특정 크기의 저항벽에서는 백색 잡음이 증가하면 정적 위상에서 주기적 회전 위상으로 상전이가 일어나고, 그 상태에서 좀 더 잡음의 세기를 증가 시키면 주기적 위상에서 다시 정적 위상으로 돌아오는 재진입 상전이가 일어나는 것을 관찰하였고, 컴퓨터 시뮬레이션을 이용하여 이러한 특이 상전이의 미시적 기작을 이해하였다.
이러한 동역학 특성 연구의 응용으로, 무작위 자기장 이징 모델을 이용하여 네트워크의 구조체 단위를 찾는 방법을 제시하였다. 네트워크의 두 노드를 각각 양의 방향과 음의 방향 자기장으로 고정하고 나머지 노드의 자석은 자유롭게 움직이도록 하면, 네트워크 구조에 따라 특정 덩어리가 만들어진다. 이러한 모임의 크기를 비교하여 네트워크 구조체 단위를 찾을 수 있는데, 가라데 클럽 네트워크와 과학 공동 연구자 네트워크, 주식 시장 네트워크에 적용한 결과 구조체 단위를 잘 찾는 것을 확인할 수 있었다. 복잡계 네트워크의 방향성과 동역학을 적용하여 생물학 정보 중의 하나인 효모의 유전자 발현 네트워크를 밝히는데 응용하였다. 실험에서의 효모 유전자 발현 정도는 특정 효모 간의 유전자 연결 가중치로 생각할 수 있다. 하지만, 효모의 유전자 네트워크에서 모든 유전자 사이에 연결이 있다고 생각할 수는 없고, 최소한의 연결만을 갖도록 간접적인 연결 관계를 제거하여 주면, 확인 가능한 최소한의 효모 유전자 발현 네트워크를 밝힐 수 있다. 본 연구 결과, 효모의 유전자 발현 네트워크의 연결선 수는 다른 복잡계 네트워크와 같은 멱함수 법칙을 따르는 것이 확인되었고, 그 각각의 유전자 발현 연결은 기존의 실험에서 밝힌 유전자 발현 관계와 상당 부분 일치하는 것을 확인할 수 있었다.
