Diffuse optical tomography (DOT) is a sensitive and relatively low cost imaging modality. However, the inverse problem of reconstructing optical parameters from scattered light measurements is highly nonlinear due to the nonlinear coupling between the optical coefficients and the photon flux in the diffusion equation. Even though nonlinear iterative methods have been commonly used, such iterative processes are computationally expensive especially for the three dimensional imaging scenario with massive detector arrays such as CCD. The main contribution of this paper is a novel $\it{non-iterative}$ and $\it{exact}$ inversion algorithm when the optical inhomogeneities are $\it{sparsely}$ distributed. We show that the problem can be converted into simultaneous sparse representation problem with multiple measurement vectors (MMV) from compressed sensing framework. Fundamental $l_0$ performance bounds for the recoverable targets shows that the sparse recovery approach outperforms the conventional time-reversal MUSIC, another non-iterative method. New results on $l_1$ minimization also demonstrate that the number of recoverable targets increases as the number of source configuration grows, which coincides with theoretical prediction of $l_0$ minimization. The performance of several practical simultaneous sparse recovery algorithms such S-OMP, and $\it{p}$ -thresholding have been analyzed. Due to the ill-posedness of the DOT problem, preconditioning is found essential. The optimal preconditioning is derived, which shows that $\it{p}$ -thresholding with the optimal preconditioning is equivalent to applying thresholding after the pseudo-inverse calculation. Simulation results also confirm that our algorithms outperform the conventional time-reversal MUSIC.
DOT는 근적외선 영역의 빛을 신체에 쬐어서 검출된 흡수되고 분산된 광자를 측정하여, 신체내부의 광학 계수들을 복원하는 의료영상 기술이다. 신체내부처럼 산란이 많은 경우 광자의 운동은 diffusion equation으로 나타낼 수 있는데, 광학 계수들을 복원하는데에 있어서 복잡한 비선형 문제를 풀어야 한다. 기존의 방식들로는 정확한 계수를 구할수 없고, 여러번의 반복이 필요하기 때문에 시간이 오래 걸리는 단점들이 있다. 하지만 compressed sensing 이론을 바탕으로, 광학 계수들이 복원하고자 하는 영역에 산재되어 있는 특성을 이용해서 비선형 문제를 여러개의 광원을 사용하는 multiple measurement vectors (MMV) 문제로 바꾸어서 접근할 수 있으며, 광원을 많이 사용할수록 복원할 수 있는 계수들이 더 많아진다. DOT 의 ill-posedness 특성 때문에, MMV 문제를 푸는데에있어서 preconditioning을 해주지 않고는 문제를 해결할 수 가 없다. 따라서 preconditioning을 해준다음에 MMV 의 대표적인 알고리즘인 simultaneous orthogonal matching pursuit (SOMP) 또는 p-thresholding 을 통해서 비반복적이고 정확하게 해를 구할 수 있다. Preconditioning의 경우 계산량이 detector의 갯수와 전체 voxel의 갯수와 관련이 있는데, detector의 간격과 갯수에 제한이 있을때에 preconditioning과 p-thresholding 과정을 빠르게 계산할 수 있는 방법을 보였으나, 실제 문제에서는 detector의 갯수가 어느정도 많을때에 복원이 잘 되었다. 복원할 수 있는 정도를 barbel function또는 상관계수를 통해 알 수 있는데, simulation을 통해서 preconditioning을 하고난 후에 상관계수가 줄어드는것을 확인하였으며, random target, lumped target 모두 preconditioning을 하고난 후에 복원이 더 잘 되었다. 또한 이 방법이 기존의 방법(MUSIC)보다 더 복원이 잘되는 것과 detector가 많아질수록 복원이 더 잘되고 동시에 상관계수가 줄어드는것을 확인하였다. Preconditioning 방법이 noise에 취약하긴 하지만, dictionary의 singular value들에 작은 값을 더해줌으로써 noise가 있는 경우에도 어느정도 복원이 잘 되는것을 또한 확인하였다.
