For any bounded function $f(t)$ defined on $\mathbb{R}$ and continuous at $t \in \mathbb{R}$, we consider a generalized sampling series given by
$(S_{W}^{\varphi}f) (t) := \sum_{k\in \mathbb{Z}} f(\frac{k}{W}) \varphi(Wt-k),~~~(t \in \mathbb{R} ;W>0)$.
we find sufficient conditions on the reconstruction function $\varphi(t)$, under which we have
$\partial_t^{n} (S_{W}^{\varphi}f) (t) = \sum_{k\in \mathbb{Z}} f(\frac{k}{W}) \partial_t^{n} \varphi(Wt-k)$
converges to $f^{(n)}(t)$ as $W \rightarrow \infty$.
어떤 $\varphi(t)$가 유계이며, $\sum_{k\in \mathbb{Z}} |\varphi (t-k)|$가 [0,1] 구간에서 균등수렴하고, $\sum_{k\in \mathbb{Z}} \varphi(t-k)=1$를 만족하면, $\varphi (t)$를 Kernel이라 한다. 다음을
$(S_W^{\varphi}f) (t) := \sum_{k\in \mathbb{Z}} f(\frac{k}{W}) \varphi(Wt-k)$.
일반화된 샘플링 전개라고 하며, 임의이 유계인 함수 $f(t)$에 대하여, 연속인 점에서 이 일반화된 샘플링 전개의 극한이 $f(t)$로 수렴한다. 또한 번스타인 공간에서 성립했던, 도함수에 대한 샘플링 전개와 유사하게 Kernel의 적당한 조건하에 일반화된 샘플링 전개에 대해서 극한이 $f^{(n)}(t)$로 수렴한다.
