There are frequency regions which are called band gaps in periodic structures. If the frequency of the wave is in a band gap, then the wave cannot propagate through the structure. But it is valid only if the period of the structure is infinity. So it is important to understand the behavior of waves in finite periodic lattice for practical applications. In this research, the relations between the transmission coefficient and the periods of the periodic structure in band gap frequency regions are studied.
The transmission coefficient of a finite periodic lattice exponentially decreases with respect to the periods of the structure and the base is obtained from the Floquet’s theorem. If there is a defect in the periodic lattice, the transmission coefficient shows a peak at the defect mode frequency. The peak value is determined by the difference between the periods of the lattices on the left and the right of the defect. The half power band width of the peak exponentially decreases with respect to the periods of the lattice. Also the effect of the lattice distortion is studied. If the length of the unit lattice has a random error, the transmission coefficient of the finite periodic lattice increase compared to the perfectly finite periodic lattice in the band gap frequency regions. And the 1-dimensional model is extended to the 2-dimensional models which are a multilayer system and a rectangular lattice. The transmission coefficient of the 2-dimensional finite periodic lattice also decreases exponentially with respect to the periods. The base is the function of not only frequency but also the incident angle.
From the research the transmission coefficients of periodic structures is approximately obtained with respect to the spatial periods. Though the approximation formulas are derived from simple models, they can be applied to general structures because of the Bloch theorem.
주기적인 구조물에는 밴드갭(Band gap)라고 하는 파동이 통과할 수 없는 주파수 영역들이 있다. 그러나 이 것은 구조물의 주기가 무한히 많은 경우의 성질이므로 실재 이 성질을 응용하기 위해서는 유한한 주기적 구조물에서 파동의 거동을 이해해야 한다. 이에 본 연구에서는 유한한 주기적 격자 모델로부터 밴드갭 주파수에서 투과계수를 유도하고 주기의 수와 투과계수의 관계를 살펴보았다.
먼저 유한한 주기적 격자의 경우 밴드갭 주파수에서 투과계수는 주기가 증가함에 따라 지수적으로 감소하였고, 이 때의 지수의 밑은 단위격자와 Floquet 정리로부터 얻을 수 있다. 만약 유한한 주기적 격자 구조 안에 주기적이지 않은 부분인 defect가 들어 있으면 투과계수가 defect mode에 해당하는 주파수를 중심으로 피크를 이루는데, 이 때 피크 값은 defect 앞뒤로 있는 격자의 주기수의 차가 클수록 작아 진다. 한편 피크의 half power band width는 격자의 주기가 증가함에 따라 지수적으로 감소한다. 그 다음으로 격자구조에 lattice distortion이 있어서 단위 격자의 길이가 랜덤오차를 갖는 경우에 주기적 격자의 투과계수를 유도하였고, 이 때 완벽히 주기적인 격자의 투과계수에 비해 lattice distortion이 있는 격자의 투과계수가 길이의 분산에 비례하여 증가하는 것을 볼 수 있었다. 마지막으로 1차원 주기적 격자 모델을 2차원 모델인 주기적으로 층을 이루는 다층 시스템과 가로와 세로 방향 모두에 대해 주기성을 갖는 사각 격자의 경우로 확장하였다. 이 경우, 유한한 주기적 격자의 투과계수 역시 주기가 증가함에 따라 지수적으로 감소하였으며, 단 1차원 모델과는 달리 밑이 주파수뿐만 아니라 파동이 입사된 각도에 역시 영향을 받는 것을 볼 수 있었다.
이 연구를 통해 주기적인 구조물의 투과계수를 주기에 대한 함수로서 근사적으로 나타냈다. 비록 단순화된 모델로부터 유도한 근사식이지만, Bloch 정리에 따르면 단위 격자 구조가 복잡해 져도 한 주기 넘어갈 때 마다 어떤 상수가 곱해 지는 것은 사용한 모델과 동일하므로, 얻어진 근사식은 일반적인 경우에도 역시 적용할 수 있다.
