The stability of time-delay systems has been investigated in the last several decades. Stability criteria for linear time-delay systems can be divided into two categories, delay-independent stability criteria and delay-dependent stability criteria, by whether the criteria include the information about delays or not. In addition, linear time-delay systems can be divided into two categories by the number of delays. One are single-delay systems which have only a single time-delay constant and the other are multiple-delay systems which have at least two time-delay constants.
The delay-independent and delay-dependent stability criteria have been studied by many researchers. Delay-dependent stability criteria have improved the conservativeness of delay-independent stability criteria. Some Researchers proposed delay-dependent stability criteria by frequency domain approach and these criteria improved conservativeness of previous delay-independent criteria. In these days, many researchers suggested delay-dependent and delay-independent stability criteria as Linear Matrix Inequality(LMI) form to get less conservative stability criteria by Lyapunov functional approach.
We propose stability criteria for linear systems with time delays by employing the Lyapunov-Krasovskii functional approach and integral inequality. In the first part, stability criteria for the system with single delay is suggested. Then, we extend the results to the system with multiple delays. Finally, simulation results are given to be compared with the existing results in the literature.
A design method for the delay-dependent state feedback controller is proposed which guarantees the asymptotic stability of the linear uncertain systems with state and input delays based on Lyapunov-Krasovskii functional approach. The condition for the controller was given in terms of matrix inequalities including nonlinear terms. Because the original nonconvex feasibility problem is hard to solve, an iterative algorithm is provided using convex optimization as an alternative solution based on previous results. The simulation results are given to be shown that proposed controller successfully stabilizes the given linear uncertain systems with state and input delays.
Finally, we deal with feedback linearizable nonlinear systems with input delay. The existence of time delays degrades the control performance and make feedback linearizable systems difficult to be linearized system. We proposed a new design method for the delay-dependent state feedback controller to guarantee the asymptotic stability of the state feedback linearizable nonlinear time-delay systems based on Lyapunov-Krasovskii functional approach. The condition for the controller was given in terms of matrix inequalities including nonlinear terms. Because the original nonconvex feasibility problem is hard to solve, we provided an iterative algorithm using convex optimization as an alternative solution based on previous results. The simulation results show that proposed controller successfully stabilizes the given nonlinear time delay system with uncertainty.
선형시간지연시스템의 안정성분석에 관한 연구는 과거 많은 연구자들에 의해 진행되었다. 시간지연시스템의 stability criteria는 크게 시간지연의 크기가 고려되는 delay-dependent stability criteria와 시간지연의 크기와 무관한 delay-independent stability criteria로 나누어진다. 또한 시간지연시스템은 시간지연의 갯수가 1개인 단일시간지연시스템과 2개이상인 다중시간지연시스템으로 나눌 수 있다. 기존 연구결과들에 따르면 delay-independent stability criteria가 delay-dependent stability criteria에 비해 더 보수적인 것으로 알려져 있다. 최근들어 Lyapunov Functional을 바탕으로, 선형부등행렬식(LMI)으로 표현되는 delay-dependent stability criteria에 대한 연구결과들이 많이 발표되었으며, 이러한 LMI 조건들은 기존 stability criteria의 보수성을 상당히 완화시켰다. 하지만 대부분의 연구들은 주로 시간지연항이 상수인 선형 단일시간지연시스템을 대상으로 하였으며, 시간지연항이 시변일경우나 시간지연항이 다수인 다중시간지연시스템에 대한 연구결과는 상대적으로 많이 이루어지지는 않았다. 또한 비선형시간지연시스템을 대상으로 하는 연구도 상대적으로 미흡하다. 본 연구에서는 Lyapunov-Krasovskii functional방법을 바탕으로 새롭게 제안된 적분부등식과 N-segmentation 기법을 활용하여, 시간지연항이 상수인 선형다중시간지연시스템을 대상으로 LMI형태로 표현되는 delay-dependent stability criteria를 제안하였다. 제안된 delay-dependent stability criteria는 불확실성을 포함하는 선형다중시간지연시스템, 시변시간지연항을 가지는 선형다중시간지연시스템에 대한 delay-dependent stability criteria를 제안하였다. 또한, 상태변수의 미분항에 시간지연이 존재하는 Neutral type 다중선형시간지연시스템에 대한 delay-dependent stability criteria를 LMI형태로 제안하였다. 제안된 각각의 stability criteria는 적절한 예제를 통해 기존 문헌들에 제시된 방법들에 비해 보수성이 완화되었음을 보였다. 또한 N-Segmentation 기법에서 N이 증가할수록 보수성이 완화됨을 보였다. 나아가 delay-dependent stability criteria 도출 기법을 활용하여 상태변수와 입력항에 시간지연이 있고 불확실성을 포함하는 선형시간지연시스템을 대상으로 점근적안정성을 보장하는 강인제어기 설계기법을 제안하였다. 제안된 설계기법은 로켓엔진 제어에 적용하여 그 유용성을 검증하였다. 또한 입력항과 상태변수에 시간지연이 존재하며 불확실성을 가지는 궤환선형화가 가능한 비선형시간지연시스템을 대상으로 점근적안전성을 보장하는 강인제어기 설계기법을 제안하였다. 제안된 제어기법은 적절한 예제을 통해 점근적 안정성을 보장함을 보였다.
