A study about the dynamic response of materials under impact or blast load is a crucial research topic in many engineering applications such as crashworthiness of vehicles and explosive devices used in aerospace and military industry. When impact or blast load is imposed to a machine, the stress waves are propagated through a medium and fracture or damage occurs at the structural weak point by the crack or plastic deformation. Therefore, understanding of the stress wave propagation is very important for the reliable and safe design of machines.
Stress waves propagate through a medium rapidly when dynamic forces are applied for very short periods of time. Furthermore, if a pulse wave is transmitted to a material that has an exceeding the elastic limits, this pulse induces a plastic stress wave as well as a elastic stress wave. The analytical prediction of the propagation of stress waves is very difficult in practical problems since the governing equation is expressed by the hyperbolic differential equation and the solution may have discontinuities or singularities such as an elastic unloading, internal reflection and the crack. In spite of such difficulties, many researchers have been progressed valuable studies by various approaches since the early sixties. One remarkable effort is the numerical simulation using the finite element method. However, the conventional finite element method contains two typical problems currently during the simulation procedures: The first one is the difficulty of controlling dispersive and dissipative errors occurring at the discontinuous or singular domain; and the second difficulty is to resolving and preserving the short waves with discontinuities.
This paper proposed the numerical algorithm for the simulation of elasto-plastic stress waves using a time discontinuous variational integrator based in Hamiltonian. The proposed algorithm firstly adopts both the time-discontinuous variational integrator and the space-continuous Hamiltonian in order to reduce the dispersive and dissipative errors. The limited kinetic energy is introduced to enhance the stability problem in the discontinuities such as elastic unloading and internal reflection in plastic deformation.
This study also modified integration algorithm in the strain space for rate and temperature dependent elasto-plastic constitutive relations in order to obtain more accurate results in numerical implementation. Since most materials show their inherent rate and temperature dependent behaviors in various strain-rate, strain-rate and temperature dependent constitutive models are widely utilized in the numerical simulation for materials under dynamic loading conditions. Numerical implementations for the constitutive are typically carried out on the basis of theoretical results which are derived on the stress space formulation. The stress space formulation has the possibility of confusion in loading-unloading criteria when the plastic strain-rates are fluctuated or thermal softening takes place. However, the strain space formulation proposed by Il’yushin is attractive alternatives to eliminates confusion in the definition of the loading-unloading criterion and also provide a unified treatment for work-hardening or softening materials. The proposed integration algorithm of the constitutive model is integrated analytically using integration by part and chain rule based on the classical $J_2$ elasto-plasticity and the strain space formulation and then is applied to the 2-stage Lobatto IIIA with second-order accuracy. The suggested algorithm enables to consider the convective stress rates on the yield surface of the strain space. Accuracy assessment using the isoerror maps indicates the result of the proposed algorithm is improved by 70% compared to the conventional backward-Euler return method. Numerical analysis of adiabatic shear band also demonstrates that the proposed algorithm is more accurate than the conventional method for rate and temperature dependent constitutive model.
Elastic and elasto-plastic numerical simulations for one and two dimensional stress wave propagation are carried out in order to evaluate the efficiency of the proposed algorithms. The results indicate that dispersive and dissipative errors, which appears in both a continuous Galerkin method and a discontinuous Galerkin method, are remarkably reduced using the time-discontinuous variational integrator of Hamiltonian with the proposed integration algorithm of the constitutive model.
본 연구의 목적은 유한요소법을 이용하여 고체내에 전파되는 탄소성 응력파 선단에서 발생하는 수치분산 및 수치소산오차를 감소시켜 응력파의 불연속성과 전파속도를 정확하게 계산하고, 변형률속도 및 온도를 고려한 구성방정식을 이용하여 항복면의 변화이력을 고려할 수 있는 적분방법을 개발하여 보다 정확하게 탄성 및 소성 응력파의 거동을 예측하는 것이다.
본 연구에서는 쌍곡방정식으로 구성되는 파동방정식의 고유특성인 분산과 소산에 대한 특징을 분석하였고, 이를 이용하여 기존의 유한요소법인 연속 및 불연속 갤러킨방법에 의해 발생되는 수치 분산 및 소산오차의 특성을 파악하였다. 그리고 응력파 해석을 위하여 현재 활발히 연구되고 있는 불연속 갤러킨방법의 장점을 파악하여 이를 본 연구에 활용하였다. 응력파 전파의 유한요소 해석 시 발생하는 수치분산 및 소산 오차를 줄이기 위하여 공간이 연속이라는 가정하에 해밀토니안을 이산화하고, 이 해밀토니안에 의해 구해진 라그랑지안의 작용적분에 변분적분기를 적용하였다. 이 때 이산화된 해밀토니안을 구성하는 일반좌표와 일반운동량은 시간 절점에서 불연속이라 가정하였다. 이와 같이 제안된 유한요소식은 심플렉틱 특성을 가지고 있기 때문에 해석 시간 동안 총 에너지를 계속 보존할 수 있는 장점을 갖는 것으로 판단된다.
본 연구에서는 해밀토니안의 시간 불연속 변분적분기를 이용하여 응력파의 전파에 관한 수치해석을 수행하였다. 그 결과 본 연구에서 제시한 유한요소식은 기존의 연속 및 불연속 갤러킨방법보다 수치분산오차와 수치소산오차를 줄일 수 있으며, 비교적 짧은 파장도 분해 가능한 것을 확인하였다. 그러나 본 연구에서 제안된 시간 불연속 변분적분기는 수치분산오차와 수치소산오차를 감소시킬 수 있는 장점을 가지고 있지만 하중의 제하이나 연속체 내부에서 발생하는 내부 반사등의 불연속성을 포함하게 되면 진동현상인 수치분산오차가 발생하거나 수치해석의 해가 수렴되지 않을 수 있다. 따라서 이와 같은 문제나 수치해석기법의 안정성을 위하여 본 연구에서는 과도한 진동이 발생할 때 운동에너지를 억제할 수 있는 제한 운동에너지와 제한기를 제안하여 시간 불연속 변분적분기에 적용하였고 수치해석을 통하여 분산오차를 획기적으로 줄일 수 있는 것을 확인하였다. 반면 제한기에 의하여 소산오차가 발생하여 시스템의 전체 에너지가 시간이 지남에 따라 감소하는 단점을 가지고 있다. 뿐만 아니라 소성 이론을 해밀톤 법칙에 적용하여 소성변형에서도 운동량 보존 법칙과 열역학 제1,2법칙 모두 만족함을 증명하고 변분적분기에 의한 유한요소 수식이 탄성변형뿐 아니라 소성변형에도 모두 적용할 수 있음을 보였다.
응력파의 전파에 의한 부재의 탄소성 변형을 고려하기 위하여 응력 및 변형률 공간의 항복면 위에서 소성변형의 이력을 고려할 수 있는 구성방정식의 2차 정확도 적분방법을 제안하였다. 개선된 적분 방법은 소성변형율의 시간적분을 해석적으로 수행하여 소성변형의 이력을 고려할 수 있도록 하였고, 내연적 룬지-쿠타방법의 2-stage Lobatto IIIA를 적용하였다. Isoerror map을 이용하여 개선된 적분방법의 정확도를 평가하였으며 기존의 방법에 비해 정확도가 약 70% 향상되었다. 또한 단열전단밴드의 해석을 통하여 변형률 공간에서 제안된 적분 방법이 고속 변형 중에 발생하는 국부적인 소성 변형인 단열전단밴드를 예측하는데 있어서 기존의 방법보다 더 정확한 것을 확인하였다.
이와 같은 변형률 공간에서 수식화한 구성방정식의 공간 2차 정확도 적분법을 시간 불연속 변분적분기에 적용하여 2차원 문제의 응력파 전파를 수치 해석하였다. 이를 위하여 대변형을 고려한 2차원 비선형 탄소성 유한요소 프로그램을 구성하였으며 개량 라그랑지안 방법을 사용하여 4절점 평변 변형률 문제를 풀 수 있도록 하였다. 대변형에서 회전 객관성을 고려하기 위하여 Nagtegaal 이 제안한 회전 중립변수를 적용하였고 소성역에서의 잠금현상을 막기 위해서 선택적 저감적분법을 사용하였다. 그리고 변형률 속도와 온도에 의존하는 탄소성 변형을 고려하기 위하여 변형률 공간의 항복면 위에서 소성변형의 이력을 고려할 수 있는 구성방정식의 2차 정확도 적분방법을 적용하였다. 2차원 탄성 및 탄소성 응력파 전파에 관한 수치해석 결과로부터 본 논문에서 제시한 시간 불연속 변분적분기는 입력된 응력파의 형태를 기존의 연속 갤러킨방법보다 잘 유지하고 있으며, 진동현상과 관련된 수치분산오차도 감소하는 것은 확인하였다.
